Mecánica Analítica: sistema anholónomo

El sistema de la figura representa una varilla AB de masa m y longitud 2a que se apoya sin rozamiento sobre un plano horizontal O1x1y1, excepto en su centro, cuya velocidad sólo puede ser perpendicular a la varilla. Obtenga las ecuaciones diferenciales que rigen la evolución del ángulo j y las coordenadas x,h. Intégrelas si w es la rotación inicial y se considera el instante inicial aquél en que j = 0. Exprese la solución en función del tiempo, de w, las componentes de la velocidad inicial del centro de la barra y las coordenadas de su posición inicial.

Se trata de un sistema no holónomo pues si bien las tres coordenadas son necesarias para posicionar la varilla (son independientes), sus velocidades no lo son, sino que han de verificar

.
x
 
cosj+ .
h
 
sen
j = 0
Las ecuaciones de Lagrange, obtenidas a partir de la energía cinética
T = 1
2
m ( .
x
 
2
 
+ .
h
 
2
 
) + 1
6
m a2 .
j
 
2
 
y la ecuación de ligadura anterior son
ì
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
î
m ..
x
 
=
l1 cosj
m ..
h
 
=
l1 sen
j
1
3
m a2 ..
j
 
=
0
con lo que si w es la rotación inicial y j0 = 0 se tiene
j = wt
eliminando l1 entre las dos primeras ecuaciones se tiene
..
x
 
sen
wt - ..
h
 
coswt = 0
derivando la ligadura
.
h
 
= - .
x
 
coswt /( sen
wt)
se tiene
..
h
 
= -( ..
x
 
coswt sen
- w .
x
 
sen
wt- w .
x
 
cos2wt )/( sen
2wt)
que con la ecuación anterior queda
..
x
 
sen
wt sen
2 wt = -( ..
x
 
coswt sen
wt- w .
x
 
sen
2wt- w .
x
 
cos2wt )coswt
o bien
..
x
 
sen
wt = w .
x
 
coswt
que conduce a
dx¢
x¢
=
d sen
wt

sen
wt
con lo que
.
x
 
= .
x
 

0 
sen
wt
y
x = .
x
 

0 
w-1(1- coswt) + x0
.
h
 
= - .
x
 

0 
coswt
con lo que
h = - .
x
 

0 
w-1 sen wt + h0


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On 13 May 2000, 13:56.