Conos I

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Un cono de revolución k2 de semiángulo p/6 radianes (verde) puede girar alrededor de un eje fijo z1 y rodar sin deslizar por el exterior de otro cono k3 (azul) de revolución de semiángulo p/6 que a su vez puede rodar sin deslizar sobre el plano (blanco) fijo z1 = 0.

 El eje del cono k3 gira alrededor de z1 arrastrado por la horquilla k4 la cual posee una velocidad angular W. Determine la velocidad de rotación de k1

En la figura se ha representado un segundo cono para mejorar la visibilidad de la animación. Se definen los vectores unitarios

Solución (puede ver una animación presionando el botón Comienza)

Se trata de un problema de cinemática esférica (teoría en formato pdf). En primer lugar se procede a determinar la rotación del cono azul respecto al sistema fijo. Para esto, se posiciona el eje instantáneo de rotación del cono azul respecto a la horquilla, ya que el movimiento de ésta es conocido. 

El eje instantáneo de rotación de un cono azul respecto a la horquilla roja es

La generatriz de contacto entre el cono azul y el plano fijo z1 = 0, es decir  a

El eje fijo z

El eje del cono azul

La velocidad respecto al sistema fijo de los puntos del eje instantáneo de rotación del cono k3 respecto a la horquilla puede calcularse utilizando el campo de velocidades del cono o de la horquilla, como se deduce del movimiento de tres sistemas con un punto fjo. Esto nos permitirá encontrar la rotación del cono azul. Los de la horquilla tienen una velocidad según el eje direccionado por k ×a e igual a 

W a × r k

W k3 × r  a

W k × r k3

Los del cono tienen una velocidad 

W a × r  k

w31 a × r k3 

w31 k × r  k3

por lo que

W ( 3 )1/2
2
= - w31 r 1
2
    Þ    w31 = - ( 3 )1/2 Wa

De la misma forma, una vez conocido el movimiento del cono azul, se aprovecha para obtener el del cono verde. El eje instantáneo del movimiento del cono verde respecto al azul es

La generatriz de contacto entre el cono azul y el plano fijo z1 = 0, es decir  a

El eje fijo z

La generatriz de contacto entre ambos conos b

 si se considera un punto de la generatriz de tangencia entre ambos conos y se calcula su velocidad respecto al sistema fijo utilizando los campos de velocidades de ambos conos, como en el caso anterior. Los puntos del cono azul tienen una velocidad

W a × r  b

w31 a × r  b 

  W k × r  k3

Los puntos del cono verde tienen una velocidad

w21 k × r  b

w31 a × r 

  W a × r  k3

con lo que se tiene

-w31r ( 3 )1/2
2
= w21 r 1
2
    Þ    w21 = 3 Wk

Para cualquier duda o comentario puede dirigirse al autor


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On 27 Oct 1999, 13:00.