Conos 

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Un cono de revolución  k3 (azul)  de semiángulo p/6 radianes  puede rodar sin deslizar sobre el plano (blanco) fijo z1 = 0. El eje del cono k3 gira alrededor de z1 arrastrado por la horquilla k4 la cual posee una velocidad angular W. En la figura se ha representado un segundo cono para mejorar la visibilidad de la animación. Se definen los vectores unitarios

Solución (puede ver una animación presionando el botón Comienza, o las páginas de teoría en formato pdf)

1.- Se procede a determinar la rotación del cono azul respecto al sistema fijo. Para esto, se posiciona el eje instantáneo de rotación del cono azul respecto a la horquilla, ya que el movimiento de ésta es conocido. 

El eje instantáneo de rotación de un cono azul respecto a la horquilla roja es

La generatriz de contacto entre el cono azul y el plano fijo z1 = 0, es decir  a

El eje fijo z

El eje del cono azul

La velocidad respecto al sistema fijo de los puntos del eje instantáneo de rotación del cono k3 respecto a la horquilla puede calcularse utilizando el campo de velocidades del cono o de la horquilla, según recogen los resultados del movimiento de tres sistemas con un punto fijo. Esto nos permitirá encontrar la rotación del cono azul. Los de la horquilla tienen una velocidad según el eje direccionado por k ×a e igual a 

W a × r k

W k3 × r  a

W k × r k3

Los del cono tienen una velocidad 

W a × r  k

w31 a × r k3 

w31 k × r  k3

por lo que

W ( 3 )1/2
2
= - w31 r 1
2
    Þ    w31 = - ( 3 )1/2 Wa

2.- Las rotaciones de Euler son las componentes de la velocidad angular según los ejes de la base de Euler. En este caso, claramente, nutación es nula y la precesión es W. En cuanto a la rotación propia,  resulta

W

-2 W

2W

 La rotación buscada es la rotación del cono azul respecto a la horquilla roja y es 

w3h=w31-wh1

w3h =- ( 3 )1/2 Wa - Wk1=-2 W k

por lo que la rotación propia es - 2 W

3.- Cuando la horquilla roja ha completado un giro completo respecto al sistema fijo, el cono azul ha completado un número de vueltas respecto a la horquilla roja de

 


Para cualquier duda o comentario puede dirigirse al autor


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On 27 Oct 1999, 13:00.