Problema de la conducción

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Un vehículo de tres ruedas que puede moverse sobre un plano fijo horizontal está formado por una chasis rígido k, de masa m, dos ruedas traseras r2,r3, y una rueda delantera directriz r1, todas de masa despreciable y radio R. El vehículo dispone de un motor montado en su eje trasero que comunica un par M/2 a cada una de las ruedas traseras. El centro de masas C del chasis se encuentra situado a una altura h sobre el plano del suelo, sobre el plano medio entre las dos ruedas traseras y a una distancia p del plano vertical que contiene al eje trasero. La distancia del centro de la rueda delantera al eje trasero es d y la distancia entre las dos ruedas traseras es a. El momento de inercia respecto al eje vertical que pasa por el centro de masas es Ic y se supone que está equilibrado para el movimiento plano. Se considera la referencia móvil ligada al chasis descrita en la figura

c3r.png

El ángulo que está girada la rueda delantera se llamará a y f será el ángulo que forma el eje x con su posición inicial. Se llamará M al punto medio del eje trasero. Se desea hallar

  1. la posición del centro instantáneo de rotación del chasis respecto al suelo, en función d los parámetros anteriores y del ángulo a.
  2. el momento de inercia respecto al eje vertical que pasa por el CIR.
  3. la energía cinética del sistema
  4. ecuación diferencial que satisface la velocidad v de M
  5. el sistema de fuerzas de ligadura
  6. las componentes normales de las fuerzas de ligadura
  7. la aceleración de C
  8. las reacciones normales en las ruedas
  9. las fuerzas de rozamiento en el suelo

Solución

  1. Obviamente, los centros de las ruedas siguen trayectorias normales a sus ejes, por lo que el CIR se encuentra en la posición indicada por las coordenadas

    c3r2.png

    (0, d
    tana
    )
  2. Aplicando el teorema de Steiner para el tensor de inercia se tiene
    II = IC + m æ
    ç
    è
    p2 + d2
    tan2 a
    ö
    ÷
    ø
  3. Tomando el punto I, se tiene
    T = 1
    2
    II w2
  4. La velocidad v es
    v = w d
    tana
    y la energía cinética, aplicando el segundo teorema de Könnig, es
    T = 1
    2
    v2 (IC + m æ
    ç
    è
    p2 + d2
    tan2 a
    ö
    ÷
    ø
    ) tan a / d2
    T = 1
    2
    m(1+A tan2a)v2

    con lo que, aplicando el teorema de la energía cinética

    d T
    dt
    = m (1 + A2tan2a) .
    v
    + A2 v tana
    cos2 a
     
    .
    a
    = M
    R
  5. teniendo en cuenta las ecuaciones que rigen la dinámica del movimiento plano del sólido rígido, el conjunto de fuerzas de ligadura, de inercia y aplicadas forman un sistema nulo. Por lo tanto, considerando las fuerzas que recibe el vehículo del suelo, se tiene que su resultante ha de ser
    m aC + mg k
    y su momento respecto al centro de masas ha de ser
    IC .
    w
     
    k
    respecto a M, el momento es
    (pi + h k)×(m aC + mg k ) + IC .
    w
     
    k
  6. evidentemente, se tiene, por una parte,
    N1+N2+N3 = mg
    y, tomando momentos respecto a M
    - N1 d j + (N2-N3) a i
    debe ser igual a la componente según el plano horizontal de
    (p i + h k)×(m aC + mg k )
  7. la aceleración del centro de masas es
    aC = aM + .
    w
     
    k ×p i - w2 p i = ( .
    v
     
    -p w2)i + (v w+ p .
    w
     
    ) j
    con lo que se obtiene
    m (-p g + h .
    v
     

    - h p w2) j - m h(v w+ p .
    w
     
    )i
    de donde

    N1 =
    mp g - m h .
    v
     
    +m h p w2

    d
    N3 = 1/2 (mg + m h/a(vw+ p .
    w
     
    )-N1)
    N2 = 1/2 (mg -m h/a (v w+ p .
    w
     
    )-N1)
  8. las fuerzas de rozamiento en las ruedas traseras tienen una componente según x de valor M/2R en cada rueda. La componente según y se determinará a continuación. Por otra parte, la fuerza de rozamiento en la rueda delantera debe ser paralela al eje de la rueda. La suma de ambas fuerzas debe ser
    F1 + F2 = m(( .
    v
     
    -p w2)i + (v w+ p .
    w
     
    ) j )
    proyectando sobre x se tiene
    F1sena = m( .
    v
     
    -p w2)- M
    R
    que permite obtener la fuerza de rozamiento en la rueda delantera. Proyectando sobre el eje y se tiene
    F2 = -F1cosa+m (v w+ p .
    w
     
    )

En el siguiente applet puedes controlar la velocidad y giro del vehículo y ver el centroide de las componentes normales de la ligadura. Si éstas caen fuera del polígono que une los puntos de apoyo sobre el suelo, alguna reacción debería ser descendente y el vehículo vuelca. También se representan las componentes tangenciales de las reacciones y llos coeficientes de rozamiento mínimos para evitar que el vehículo derrape.


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On 27 Oct 1999, 13:13.