Problema de la barra apoyada

MecFunNet

Un segmento AB, de longitud 2a y masa m se mueve en un plano vertical Oxy de forma que el extremo A permanece siempre sobre el eje horizontal Ox de una referencia cartesiana fija, mientras el extremo B lo hace sobre el eje vertical ascendente Oy. El sistema puede verse en la animación.

escera.png
Se trata de obtener las ecuaciones de la dinámica que rigen el movimiento del segmento. Se segurá la estrategia siguiente

1.- Se identificarán las fuerzas que actúan sobre el segmento AB, buscando las propiedades geométricas de las reacciones de ligadura.

2.- Se buscará algún teorema de la dinámica en cuya aplicación no intervengan las fuerzas de ligadura, ya que a priori son desconocidas.

3.- Aplicando este teorema se generará una ecuación diferencial cuya integración se dejará reducida a cuadraturas.

4.- Encuentre el periodo del movimiento cuando en el instante inicial j = p/3 y su velocidad es nula.

escera.png
1.- La única fuerza aplicada en este problema es el peso. En cuanto a las fuerzas de ligadura en A y B se puede asegurar que

Son nulas ya que se trata de ligaduras ideales

La fuerza de ligadura en A es perpenicular al eje x

La fuerza de ligadura en B es perpendicular al eje y

La fuerza de ligadura en A es paralela al eje x

La fuerza de ligadura en B lo es al eje y

Las fuerzas son, por lo tanto,

  1. el peso -mgj
  2. la reacción en A RA j
  3. la reacción en B RB i

2.- Puede seleccionar el teorema en cuya aplicación no intervengan fuerzas de ligadura y presionar el botón

3.- Para obtener la energía cinética de un sólido rígido se comienza examinando la aplicabilidad de la siguiente propiedad

la energía cinetica del sólido rígido es igual a

1
2
m vC2
donde vC es la velocidad del centro de masas del sólido y m su masa.

Sí, es aplicable No, no es aplicable

Para calcular la energía cinética del sólido rígido se utiliza el segundo teorema de Könnig
T = 1
2
m vC2 + 1
2
w ·IC ·w
que en este caso resulta
T = 2
3
m a2 .
j
 
2
 

La aplicación del teorema de la energía cinética, dado que las fuerzas aplicadas derivan de un potencial resulta en la conservación de la energía mecánica

2
3
m a2 .
j
 
2
 
- mgacosj = E = mg h
de donde resulta
ó
õ
dj
( h/a+cosj)1/2
= æ
ç
è
3 g
2 a
ö
÷
ø
1/2

 
t
4.- Si las condiciones iniciales son de posición j = a, w = 0, entonces
h = - a cosa
con lo que
ó
õ
dj
( 2 )1/2( sin2a/2-sin2j/2 )1/2
= æ
ç
è
3 g
2 a
ö
÷
ø
1/2

 
t
si se realiza el cambio sinq = [(sinj)/(sina)] y se hace k = sina/2 se tiene
ó
õ
dq
( 1-k2sin2q)1/2
= æ
ç
è
3g
4a
ö
÷
ø
1/2

 
t
Si a = [(p)/3] entonces el periodo del movimento es
t = 4 æ
ç
è
4a
3g
ö
÷
ø
1/2

 
ó
õ
[(p)/2]

0 
dq
( 1-0.25 sin2q)1/2
donde el primer miembro es una integral elíptica completa de primera especie. Consulte la página de integrales elípticas para poder evaluarla y compruebe el resultado en el applet.


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On 27 Oct 1999, 13:15.