Motores que mueven dos ruedas que giran por el interior de un cilindro (II)

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Un par de  ruedas circulares k, k ' (rojas) de radio r = 10cm giran rodando sin deslizar por el interior de un cilindro fijo k1de radio R = 40 cm. El círculo k' describe un movimiento simétrico. Los centros de k,k ' y k1 están unidos por la varilla k2 . Se considera un par de motores  cuyos estátores se fijan al portasatélites y cuyos rótores mueven los ejes de los círculos rojos. Considere que la masa de cada círculo rojo es m; la del portasatélites es 2m y  la inercia del rótor y estátor de cada motor es despreciable.

  1. Calcule la rotación de los círculos rojos en función de la rotación del portasatélites.

  2. Obtenga la energía cinética de sistema en función de la rotación del portasatélites.

  3. Encuentre la ecuación diferencial que satisface la rotación del portasatélites en función los paresmotores Mm1,Mm2.


1.- Como la velocidad del centro de cada círculo rojo puede calcularse mediante los campos de velocidades del portasatélites (CIR: su centro) o del círculo (CIR: en la corona), se tiene, si wces la rotación de un círculo y w la del portasatélites (ver el problema de cinemática de este mecanismo)

wc=-(R-r)/r w

2.- La  energía cinética ddel sistema es la suma de las del portasatélites y los círculos. Se pueden calcular por separado:

Portasatélites: 

la energía cinética es 

Tps=1/2 Icz(ps)w2=1/3 m (R-r)2w2

Círculos:

para cada círculo se tiene, teniendo en cuenta que ruedan sin deslizar sobre la corona y que su rotación se relaciona con la del portasatélites mediante la fórmula

wc=-(R-r)/r w

se tiene, considerando el CIR de este movimiento

Tps=1/2 IIz(c)wc2=3/4 m r2wc2=3/4 m (R-r)2w2

con lo que la energía cinética total es

T= 1/3 m (R-r)2w2 + 3/2 m (R-r)2w2= 11/6 m (R-r)2w

3.- Para aplicar el teorema de la energía cinética se debe hallar la potencia que cada motor suministra al sistema. Considerando el motor del primer círculo, se puede decir que la potencia que aporta es

a) Mm1w

b) Mm1wc

c) Mm1(wc-w)

Aplicando el teorema de la energía cinética, se tiene

d (11/6 m (R-r)2w2 )/(dt) =  Mm (wc-w)= - R/r (Mm1+Mm2) w

con lo que, llamando a a la aceleración angular, se llega a

11/3 m (R-r)2a = - R/r (Mm1+Mm2)


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On 27 Oct 1999, 12:25.