Segmento que se apoya en dos rectas perpendiculares

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Un segmento AB se mueve en el plano de forma que el extremo A permanece siempre sobre el eje O1x1 de una referencia fija O1x1y1, mientras el extremo B lo hace sobre el eje O1y1. El sistema puede verse en la animación


Animación del problema

Se trata de obtener:

  1.  la base y la ruleta del movimiento, según la teoría.
  2.  el perfil conjugado fijo del segmento, según la teoría

1.- Base y ruleta

Para hallar la base y la ruleta, se proponen dos métodos

 

Consideraciones geométricas 

Este método consiste en la aplicación de leyes del CIR que permitan posicionarlo en un instante genérico e inferir alguna propiedad permanente respecto al sistema fijo y otra que lo posicione respecto al sistema móvil. La primera define un lugar geométrico de puntos que forma la base. La segunda determina la ruleta. En este problema es inmediato identificar las trayectorias de los puntos A y B y trazar las perpendiculares a las mismas, obteniendo el CIR, como muestra la figura

escal2.png
Identifique alguna propiedad que posicione el CIR respecto al sistema fijo y que no dependa de la posición particular representada. La siguiente figura muestra algunos parámetros geométricos.

escal3.png

El ángulo j es constante, por lo tanto la base es una recta

La distancia del CIR al punto C centro de la barra es constante

La distancia del CIR al origen de coordenadas es constante

Según esto, la base es

Una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 2

Un punto móvil

Una circunferencia de centro C y radio 2a

 

Por otra parte, la ruleta se determinará de forma similar. Identifique una propiedad que posicione el CIR respecto al sistema ligado al segmento AB.

El ángulo que forman los vectores AB y CI es constante

La distancia del CIR al origen de coordenadas es constante

La distancia del CIR al punto C centro de la barra es constante

Según esto, la ruleta es

Una circunferencia de centro C y radio a

Un punto móvil

Una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 2

Fórmula general

Para aplicar la fórmula de validez general, es necesario definir una referencia móvil Oxy ligada al segmento que se posicione mediante las coordenadas x,h de su origen y el ángulo j que formen los primeros ejes fijo y móvil ( de fijo a móvil, según z). Por ejemplo, se tiene la base de referencia de la figura

escal4.png
Elija una de las siguientes posibilidades

ì
í
î
x
=
sen j
h
=
0

ì
í
î
h
=
2 a sen j
x
=
0

ì
í
î
x
=
2 a sen j
h
=
a sen j

Para utilizar las ecuaciones analíticas de base y ruleta conviene haber calculado las funciones:

ì
í
î
x
=
sinj
Þ x¢
=
2  a  cosj
h
=
0
Þ
=
0

  1. Base

    Las ecuaciones son

    ì
    í
    î
    x1
    =
    x- h¢
    y1
    =
    h+ x¢
    sustituyendo se tiene
    ì
    í
    î
    x1
    =
    a  sinj
    y1
    =
    a  cosj
    donde, eliminando j, queda
    x12+y12 = (2 a)2
    circunferencia de centro O1 y radio 2a como ya se había obtenido.

  2. Ruleta

    Las ecuaciones son

    ì
    í
    î
    x
    =
    x¢sinj- h¢cosj
    y
    =
    x¢cosj+ h¢sinj

    sustituyendo se tiene

    ì
    ï
    ï
    ï
    í
    ï
    ï
    ï
    î
    x
    =
    a  senj cosj
    =
    a sen(2j)
    y
    =
    a  cos2j
    =
    a  1+cos(2j)
    2
    donde, eliminando j, queda
    x2+(y1-a)2 = a2
    circunferencia de centro C (el punto de coordenadas (0,a)), y radio a como ya se había obtenido.

    Puede observar el movimiento de base y ruleta en la animación del comienzo de página o en otra animación

Perfiles conjugados

Por último, se determinará el  perfil conjugado del segmento AB. Para ello, se recuerda que para determinar el perfil conjugado fijo, se parte de la ecuación implícita del perfil conjugado móvil

f(x,y) = 0    que en este caso es     x = 0
y se sustituye
f((x1-x(j))cosj+ (y1-h(j))sinj,-(x1-x(j))sinj+ (y1-h(j))cosj) = 0
eliminando j entre esta ecuación h(x1,y1,j) = 0 y su derivada parcial respecto a j. En este problema, se tiene que eliminar j entre
(x1-x(j))cosj+ y1 sinj = 0 Þ x1
sinj
+ y1
cosj
= 2 a
y
x1
sin2j
cosj- y1
cos2j
sinj = 0
De esta ecuación se despeja
(tan j)3 = x1
y1
lo que lleva a obtener el perfil conjugado fijo, de ecuación
x1[2/3] + y1[2/3] = (2 a)[2/3]
que constituye una astroide. Puede ver el movimiento de los perfiles en la animación del comienzo de página o en otra animación.


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On 27 Oct 1999, 12:30.