Leva circular excéntrica

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Se desea encontrar el perfil de una leva k que gire alrededor de un eje fijo y al apoyarse sobre una recta d paralela al eje de abscisas de un sistema fijo determine que la ordenada de d sea

yd = - (a senj+ b)
donde j es el ángulo girado por la leva desde el instante inicial. 

En el applet superior, puede cambiar la velocidad (deslizador derecho), parar la animación (botón "Animar" superior) y avanzar manualmente (deslizador derecho), también puede ocultar/enseñar la base y la ruleta y los puntos característicos (botones izquerdo y derechos inferiores) o cambiar el punto de vista al del taqué (botón "Referencia" central de la botonera inferior).

Puede ver otra animación o la teoría en formato pdf. 

pcon.png
Solución

Si se realiza un cambio de referencia fija y se toma ésta sobre la recta d, la leva experimenta el siguiente movimiento plano

ì
í
î
x
=
0
h
=
a senj+ b
si se eliga un sistema de coordenadas móviles con origen en el eje de la leva y primer eje el que define j0 = 0. Se trata de encontrar el perfil móvil conjugado de la recta y1 = 0. Al considerar la familia de curvas definidas en k, se tiene
h+ x senj+ y cosj = 0
es decir
x senj+ y cosj = - a sinj- b
su derivada respecto al parámetro es
x cosj- y senj = - a cosj
El sistema de ecuaciones
ì
í
î
x senj+ y cosj
=
- a senj- b
xcosj- ysenj
=
- a cosj
define la curva buscada. Para identificarla más fácilmente, se procederá a despejar x,y en función del parámetro. En primer lugar se multiplicará la ecuación superior por el seno de j y se sumará a la segunda ecuación multiplicada por el coseno del mismo ángulo, obteniéndose
x = -a - b senj
Del mismo modo, se despeja y
y = -b cosj
ecuaciones que permiten identificar una circunferencia centrada en el punto (-a,0) y de radio b como perfil conjugado móvil.

Una aplicación de los perfiles conjugados lo constituye el árbol de levas de un motor, utilizado para hacer que las válvulas se abran y cierren sincronizadas con el giro del cigüeñal. Se parte de una ley de apertura determinada yd =f(j) y se calcula la forma de la leva, según se ha realizado en este problema. 

Puede visitar otra animación más lograda (y más lenta) del movimiento del motor o del árbol de levas.


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On 27 Oct 1999, 12:34.