Leva elíptica

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Se desea encontrar el perfil de una leva k que gire alrededor de un eje fijo y al apoyarse sobre una recta d paralela al eje de abscisas de un sistema fijo determine que la ordenada de d sea

yd = - (a2sin2j+ b2cos2j)1/2
donde j es el ángulo girado por la leva desde el instante inicial. Puede ver una animación del problema o la teoría en formato pdf.

pcon.png
Solución

Si se realiza un cambio de referencia fija y se toma ésta sobre la recta d, la leva experimenta el siguiente movimiento plano

ì
í
î
x
=
0
h
=
(a2sin2j+ b2cos2j)[1/2]
si se elige un sistema de coordenadas móviles con origen en el eje de la leva y primer eje el que define j0 = 0. Se trata de encontrar el perfil móvil conjugado de la recta y1 = 0. Al considerar la familia de curvas definidas en k, se tiene
h+ x sinj+ y cosj = 0
es decir
x sinj+ y cosj = - (a2sin2j+ b2cos2j)[1/2]
su derivada respecto al parámetro es
xcosj- ysinj = - (a2-b2)sinjcosj
(a2sin2j+ b2cos2j)[1/2]
El sistema de ecuaciones
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
x sinj+ y cosj
=
- (a2sin2j+ b2cos2j)[1/2]
xcosj- ysinj
=
- (a2-b2)sinjcosj
(a2sin2j+ b2cos2j)[1/2]
define la curva buscada. Para identificarla más fácilmente, se procederá a despejar x,y en función del parámetro. En primer lugar se multiplicará la ecuación superior por el seno de j y se sumará a la segunda ecuación multiplicada por el coseno del mismo ángulo, obteniéndose
x = - a2sinj
(a2sin2j+ b2cos2j)[1/2]
Del mismo modo, se despeja y
y = - b2cosj
(a2sin2j+ b2cos2j)[1/2]
de donde se deduce el sistema
ì
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
î
x
a
=
- a sinj
(a2sin2j+ b2cos2j)[1/2]
y
b
=
- b cosj
(a2sin2j+ b2cos2j)[1/2]
que permite obtener
x2
a2
+ y2
b2
= 1
ecuación que permite identificar una elipse centrada en el eje de la leva y de semiejes a,b como perfil conjugado móvil.


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On 25 Oct 1999, 22:54.