Caja epicicloidal

M_ecFunN_et

En este problema se estudia una caja de cambios epicicloidal, como la que se presenta en la figura, con la que se pueden conseguir distintas relaciones de transformación de las velocidades de rotación vinculando, mediante un sistema de embragues que no se ha representado, unos sólidos a otros. 

En el applet superior puede seleccionar la marcha con el botón inferior izquierdo, el sistema respecto al que se visualiza el movimiento (botón inferior derecho),  variar la velocidad (barra derecha) y conmutar a control manual (botón superior), avanzando con la barra izquierda.

En particular se tienen los siguientes sistemas

 

• Corona k, que es el cilindro exterior, de radio 4R por dentro del cual ruedan sin deslizar los:
• Dos satélites s₁,s₂ de radio R que, además de rodar por el interior de la corona también lo hacen por el exterior del
• Planetario p que es un cilindro concéntrico a la corona y de radio 2R.
• Portasatélites g sistema que puede girar en torno al eje común de la corona y el planetario y que arrastra o es arrastrado por los centros de los satélites. Mientras no se impida (por medio de frenos o embragues) el movimiento de los satélites respecto al portasatéltes, aquéllos pueden girar libremente en torno a los vástagos con los que el portasatélites sujeta sus centros.

1. Si se bloquea el planetario, es decir, si no se le permite girar, determine la relación r_A entre las rotaciones de la corona y el portasatélites (animación).

   rA = wk wg

2. Si se bloquea el portasatélites, determine la relación r_B entre las rotaciones de la corona y del planetario (animación)

   rB = wk wp

3. Si se bloquea el giro de los satélites respecto al portasatélites, determine la relación r_D entre las rotaciones de la corona y del portasatélites (animación)

   rD = wk wg

    
4. Si se bloquea la corona, determine la relación r_C entre las rotaciones del portasatélites y del planetario (animación)

   rC = wg wp

Solución

1. En primer lugar, dado que la corona y el portasatélites no tienen conexión directa, se procede a identificar la rotación de los satélites en función de la del portasatélites. Se tienen entonces los sistemas p,g,s₁ si se selecciona el primer satélite. El CIR I_s1g es el centro del satélite y su velocidad se calculará como perteneciente al portasatélites o como al satélite (ver movimiento de tres planos).

   wg 3R = R ws1   Þ ws1 = 3 wg

   A continuación, una vez conocida la rotación de los satélites en función de la del portasatélites se procede a identificar la de la corona a partir de la de los satélites pues al estar estos elementos en contacto se puede trabajar con la velocidad del CIR de su movimiento relativo. Se tienen ahora los siguientes tres planos p,s₁,k donde en este caso p es fijo como se deduce del enunciado). Se procede a igualar la velocidad del CIR I_ks1 (el punto de tangencia entre ambos) calculada mediante los campos de velocidades de k y de s₁.

   ws1 2R = wk 4R     Þ     wk = 1 2 ws1

   y por lo tanto

   rA = wk wg = 3 2

2. En este caso, coo tampoco hay conexión directa entre planetario y corona, se halla en primer lugar la rotación del satélite s₁ considerando los planos g, p,s₁ donde g es el plano fijo en este caso. El CIR I_s1p es el punto de contacto entre satélite y planetario. Su velocidad puede calcularse con el campo de velocidades de p o de s₁

   wp 2R = - ws1 R     Þ     ws1 = - 2 wp

   donde el signo negativo es consecuencia de que los CIR I_pg,I_{s1 g} se encuentran a distintos lados de I_s1p. A continuación se obtendrá la rotación de k a partir de la recién hallada w_s1 ya que están en contacto. Se consideran los planos g,s₁,k y se calcula la velocidad de I_ks1 mediante los campos de s₁ y de k

   ws1 R = wk 4R     Þ     wk = 1 4 ws1

   por lo que la relación buscada es

   rB = wk wp = - 1 2

3. En este caso, todos los sistemas tienen el mismo CIR respecto al sistema fijo. Como los centros instantáneos relativos deben tener la misma velocidad calculada mediante un campo de velocidades u otro, se deduce que todos los elementos tienen la misma rotación.

   rC = wk wg = 1

4. En este caso se procederá a identificar en primer lugar la rotación del satélite s₁, pues no hay conexión entre portasatélites y planetario. Se tienen entonces los planos k,p, s₁ y el CIR I_{s1 p}. Su velocidad propociona la ecuación

   wp 2R = - ws1 2R     Þ    ws1 = - wk

   Una vez conocida la rotación del satélite en función de la del planetario se procede a identificar la del portasatélites. Se toman los planos k, s₁, g y se calcula la velocidad de I_gs1

   ws1 R = - wg 3R     Þ     wg = - 1 3 ws1

   con lo que la relación solicitada es

   rD = wg wp = 1 3

   Modelo de cajas de cambio real: