Junta Cardan
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El mecanismo de la figura representa una junta Cardan que consta de los siguientes elementos
- una horquilla s1 que gira con velocidad angular constante W1 alrededor de un eje fijo z1
- una cruceta k de lados iguales y perpendiculares AA', BB' de longitud 2a
- una segunda horquilla s2 que puede girar en torno a un segundo eje fijo z2 que forma un ángulo c con z1
Los extremos A,A¢ se alojan en dos cojinetes de la horquilla s1, de modo que el único movimiento de la cruceta respecto a la horquilla s1 es un giro a alrededor de la recta que contiene a los puntos A,A¢. A su vez, la segunda horquilla s2 gira en torno al segundo lado BB¢ de la cruceta un ángulo b. Se toma un sistema de referencia móvil xyz cuyos primeros ejes están dirigidos según los lados AA¢,BB¢. Se trata de determinar la relación entre el ángulo girado por la segunda orquilla y el girado por la primera, así como la relación entre sus velocidades de giro.
En el applet superior puede variar la velocidad de giro (barra vertical
derecha), la inclinación del segundo eje (barra superior), parar la animación
o reanudarla (botones inferiores) y en el primer caso, avanzar manualmente con
la barra izquierda. También, si dispone de una conexión rápida, puede
visualizar una animación renderizada.
Solución
Si se denomina j al ángulo girado por la horquilla s1, se tiene, por consideraciones geométricas
de donde se deduce que los ángulos a,b oscilan entre los valores absolutos 0,c pudiendo ser positivos y negativos. Además, cuando uno presenta un máximo, el otro presenta un mínimo modular.
La rotación de la segunda horquilla se puede obtener por la composición de movimientos de la primera, la cruceta y el giro en torno a esta última
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|
.
g
|
k2 = |
.
j
|
k1 + |
.
a
|
i + |
.
b
|
j |
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Proyectando sobre z2 se tiene
|
dg = |
coscdj
(cos2c+ tan2j)cos2j
|
|
|
de modo que los ángulos girados desde el instante inicial están relacionados por la ecuación
gráficamente, se tiene las representaciones
que permiten observar las amplitudes de las oscilaciones de los ángulos a,b. Cuanto mayor sea el ángulo c mayores son los giros en los cojinetes. Si c es nulo, todo el mecanismo se mueve rígidamente.
La siguiente figura muestra la evolución de los ángulos girados en los dos ejes
puede apreciarse que cada cuarto de vuelta girado por la primera horquilla se tiene un giro de un cuarto de vuelta en la segunda, aunque entre cada dos cuartos de vuelta los giros difieren tanto más cuanto mayo sea el ángulo que forman los ejes de las horquillas. Se suele asumir que la velocidad de giro en ambas horquillas es la misma. Esta es la aplcación fundamental de este mecanismo:
transmitir el giro de un eje a otro cuando no está asegurado
su paralelismo.
A continuación se muestra la velocidad de la segunda horquilla suponiendo que la primera gira con velocidad uniforme. Cuanto menos grande sea el ángulo formado por los ejes de las horquillas, más uniforme es la velocidad de la segunda. Sin embargo, si el ángulo crece, la velocidad de la segunda horquilla deja de ser constante pudiendo ocasionar pares resistentes importantes y de carácter oscilatorio que desaconsejan el uso de la junta Cardan para transmitir el movimiento entre ejes si éstos se desalinean en un ángulo mayor que p/6 radianes.
En el siguiente applet puede visualizar estas curvas para distintos valores de
la inclinación entre ejes.
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Autor: José María Díaz de la
Cruz
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On 27 Oct 1999, 12:58.