Crculo que rueda y pivota sobre un plano inclinado

Se considera un círculo de radio R y masa m que rueda y pivota sin deslizar sobre un plano fijo x1y1 en el que el eje x1 es horizontal y el eje y1 forma 60 con el eje vertical ascendente.

rueda.jpg

Figure 3.1: rueda

 

Se supone que el plano del crculo se mantiene siempre perpendicular al plano x1y1. En este caso, se necesitan cuatro coordenadas para posicionar el sistema, junto a dos ecuaciones de ligadura cinemtica. Las coordenadas pueden ser (x,h,j,y), que representan las coordenadas (x,h) del centro de masa en la referencia x1y1 y los ngulos de precesin (j) y rotacin propia (y) de una referencia xyz mvil cuyo plano xy sea el del crculo. Las ecuaciones de ligadura son:





x+Rycosj
=
0
h+Ry sen
j
=
0
(3.4)

Se puede utilizar la formulacin anterior para obtener la evolucin y las fuerzas de ligadura de este sistema mecnico. Para ello, se considera otro sistema que resulte de liberar el anterior de las ligaduras cuyos esfuerzos se pretende calcular. Si slo se estuviese interesado en las fuerzas de rozamiento y la reaccin normal en el punto de contacto, entonces el nuevo sistema consiste en un crculo que puede moverse sobre el espacio mantenindose perpendicular al plano x1y1. En este caso, en el nuevo sistema se necesita una nueva coordenada z y no son necesarias las ecuaciones 1. Para este nuevo sistema se calculan las energas cintica y potencial. La primera resulta ser:

T = 1
2
m(x2+h2+z2+ 1
2
R2y2+ 1
4
R2j2)
La energa potencial es

 

U = mg(z 3
2
+h 1
2
)
Este sistema se convierte en el anterior con las ecuaciones de ligadura






x+Rycosj
=
0
h+Ry sen
j
=
0
z-R
=
0
(3.5)
Las ecuaciones diferenciales que rigen la evolucin del sistema son


























mx
=
l1
mh
=
- m g 1
2
+ l2
mz
=
-mg 3
2
+l3
1
4
m R2 j
=
0
1
2
m R2y
=
l1 R cosj+ l2 R sen
j
(3.6)
que junto con las tres ecuaciones de 5 determinan las incgnitas definidas. Para resolver el sistema de ecuaciones anterior, se empieza con la cuarta ecuacin del sistema 6, que determina, eligiendo el origen de tiempo adecuadamente
j = wt
y se contina con la tercera ecuacin, lo que determina
z = 0 l3 = mg 3
2
derivando las dos primeras ecuaciones de 5 e insertando las segundas derivadas de x,h en la quinta de 6, se tiene
3
2
mR2y = 1
2
mgR sen
wt
por lo que
y = g
3R
sen
wt
si inicialmente
y(0) = 0 y(0) = W- g
3Rw
entonces
y(t) = - g
3 R w2
sen
wt + Wt
sustituyendo en 5 se tiene












x
=
-R

- g
3 R w
coswt + W

coswt
h
=
-R

- g
3 R w
coswt + W

sen
wt
es decir












x
=
g
3 w
cos2 wt - R Wcoswt
=
g
6 w
( 1 +cos2 wt) - R Wcoswt
h
=
g
3 w
coswt sen
wt - R W sen
wt
=
g
6 w
sen
2wt - R W sen
wt
e integrando
















x
=
g
6 w
(1+
sen
2wt

2
)- R W
w
sen
wt
h
=
- g
12 w2
cos2 wt + R W
w
coswt
Para obtener l1,l2, se deriva la ecuacin anterior dos veces y se introduce en 6

 














x
=
- g
3
sen
2 wt + R Ww sen
wt
h
=
g
3
cos2wt - R Wwcoswt
con lo que












l1
=
- mg
3
sen
2 wt + Rm Ww sen
wt
l2
=
m g
3
cos2wt - Rm Wwcoswt + 1
2
mg
de forma que las componentes generalizadas de las fuerzas de ligadura son









l1
l2
l3
0
l1 R coswt + l2 R sen
wt









Para hallar las componentes cartesianas de las fuerzas, partimos de la igualdad



"i 
Fi dri = m

j = 1 
Rj dqj
En nuestro problema, el primer miembro es
FrdrP + NdrP
teniendo en cuenta que
drP = (dx+ Rcosjdy) i1 + (dh+ R sen
jdy) j1 + dzk1
se sigue
Frx1dx+ Fry1dh+ Nz dz+
Frx1cosj+ Fry1 sen
j
Rdy =
= l1 dx+ l2 dh+ l3 dz+
l1 cosj+ l2 sen
y
Rdy
lo que concluye
















Frx1
=
- mg
3
sen
2 wt + Rm Ww sen
wt
Fry1
=
m g
3
cos2wt - Rm Wwcoswt + 1
2
mg
Nz
=
mg 3
2