Evolvente de una cicloide

Una cicloide es la trayectoria de un punto A de una circunferencia que rueda sin deslizar sobre una recta. En la figura se muestra una circunferencia que ha rodado un ángulo a desde el instante en que A fue el centro instantáneo de rotación. Se trata de encontrar la evoluta de la cicloide utilizando los recursos de la cinemática plana.

Se desea hallar la evoluta de la cicloide, es decir, el perfil conjugado fijo de la recta normal a la cicloide por el punto A. Llámese d a esta recta, que siempre pasará por el punto I, centro instantáneo de rotación de la circunferencia

Para hallar el centro instantáneo de rotación de la recta d, se tiene en cuenta que la velocidad de A es perpendicular al segmento AI, por lo que dicho centro debe estar sobre d.Teniendo en cuenta que la recta d gira a la mitad de velocidad que el círculo, se deduce que el centro instantáneo buscado ha de encontrarse al doble de distancia de A que I, es decir, en el punto B señalado en la figura, que es el simétrico de A respecto a I. El punto de tangencia entre d y su perfil conjugado fijo está en el punto de d cuya normal pase por el centro B, lo que implica que el punto característico es el propio B. El perfil conjugado fijo y por tanto la evoluta de la cicloide será la trayectoria de B respecto al sistema fijo.

El punto B se encuentra, por lo tanto, sobre una circunferencia transladada sobre la primera, según muestra la figura, y posicionado por un ángulo a + p, lo que implica que describe otra cicloide desplazada respecto a la anterior, de modo que en el instante inicial A se encuentra sobre el punto de retroceso de la primera y B, sobre la misma posición, pero en el vértice de la segunda. Por lo tanto la evoluta de una cicloide es otra cicloide.