Rombo articulado

El sistema de la figura representa un cuadrilátero formado por cuatro segmentos iguales de masa m y longitud 2a que se encuentran articulados por sus extremos. El mecanismo está situado en un plano vertical . Si se parametriza la posición del sistema por las coordenadas x,h del centro de masas G y los ángulos a,b representados en la figura, obtenga la función lagrangiana, las ecuaciones diferenciales del movimiento y la solución de éstas en función de las condiciones iniciales.

Solución

Se comienza calculando la energía cinética del sistema. Si se aplica el teorema de Koennig al sistema de cuatro barras, se tiene

T = 1
2
4 m ( .
x
 
2
 
+ .
h
 
2
 
) + T*
donde T* es la energía cinética respecto al sistema centro de masas. Ésta se calculará para cada barra. Para la barra AB, si se considera que su centro de masas describe una circunferencia de radio a y centro G con una velocidad angular
.
a
 
- .
b
 
y la rotación de la barra es
.
a
 
+ .
b
 
entonces su energía cinética es
T*AB = 1
2
m a2 ( .
a
 
- .
b
 
)2 + 1
6
m a2 ( .
a
 
+ .
b
 
)2
Razonando de forma similar para el resto de barras se tiene
T*CD = 1
2
m a2 ( .
a
 
- .
b
 
)2 + 1
6
m a2 ( .
a
 
+ .
b
 
)2
T*AD = 1
2
m a2 ( .
a
 
+ .
b
 
)2 + 1
6
m a2 ( .
a
 
- .
b
 
)2
T*BC = 1
2
m a2 ( .
a
 
+ .
b
 
)2 + 1
6
m a2 ( .
a
 
- .
b
 
)2
T* = 8
3
m a2 ( .
a
 
2
 
+ .
b
 
2
 
)
con lo que la función lagrangiana queda
L = 2 m ( .
x
 
2
 
+ .
h
 
2
 
) + 8
3
m a2 ( .
a
 
2
 
+ .
b
 
2
 
) - 4m g h
las ecuaciones del movimiento son
ě
ď
ď
ď
ď
ď
ď
í
ď
ď
ď
ď
ď
ď
î
m ..
x
 
=
0
m ..
h
 
=
-g
..
a
 
=
0
..
b
 
=
0
y la solución es
ě
ď
ď
ď
ď
ď
ď
í
ď
ď
ď
ď
ď
ď
î
x
=
x0 + .
x
 

0 
t
h
=
h0 + .
h
 

0 
t -g/2 t2
a
=
a0 + .
a
 

0 
t
b
=
b0 + .
b
 

0 
t


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On 25 May 2000, 23:15.