Motores y engranajes cónicos

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Un cono de revolución k2 de semiángulo p/3 radianes (verde) puede girar alrededor de un eje fijo z1 y rodar sin deslizar por el exterior de otros dos conos k3 ,k'3 (azules) de revolución de semiángulo p/3 que a su vez pueden rodar sin deslizar sobre el plano (blanco) fijo z1 = 0.

 El eje del cono k3 gira alrededor de z1 arrastrado por la horquilla k4 la cual posee una velocidad angular w. El eje del cono k'3 evoluciona igual que el de k3 , pero de forma simétrica respecto a   z1  .

La masa de cada cono es m, su altura es h y el radio de su base es R. 

Se definen los vectores unitarios

Se intenta mover el mecanismo mediante motores de inercia y peso despreciable que suministran un par motor M cada uno, situados  según una de las siguientes posibilidades

  1. Un sólo motor cuyo estátor se deja fijo y cuyo rótor mueve la horquilla roja
  2. Un sólo motor cuyo rótor se fija al cono verde y cuyo estátor se fija a la horquilla
  3. Dos motores cuyos estátores se fijan a los conos azules y cuyos rótores mueven la horquilla en el mismo sentido 

Solución (puede ver una animación presionando el botón Comienza)

La cinemática del problema ya ha sido resuelta en el problema de Conos que puedes consultar. 

Los resultados obtenidos son (sólo para el cono k3, pues el k'3 se mueve de forma simétrica)

w31 = - ( 3 )1/2 wa

w21 = 3 wk

Los momentos de inercia de los conos respecto a sus ejes de revolución y los diámetros de sus bases son, tomados de la tabla de momentos de inercia.

Iz =3/10 m R2

Ix =3/20 m (R2+ 4 h2)

La energía cinética de cada cono es, teniendo en cuenta que todos comparten un punto fijo (sus vértices)

T2=1/2(31/2w /2 , 0 , 3w/2)   æ
ç
ç
ç
è
Ix
0
0
0
Ix
0
0
0
Iz
ö
÷
÷
÷
ø
æ
ç
ç
ç
è
31/2w/2
0
3w/2
ö
÷
÷
÷
ø

T2=3/8 Ix w2+9/8 Iz w2

La energía cinética total es

T=T1+2 T2= 1/2(3/2 Ix +27/2 Iz ) w2=1/2 J w2

donde J= (3/2 Ix +27/2 Iz )

En los problemas cuya cinemática sólo permite un grado de libertad y no hay pérdidas energéticas, el teorema de la energía cinética es suficiente para asegurar la obtención de la ecuación diferencial del movimiento

d(T)/dt = P

J w (dw/dt)= P

J (dw/dt)=P/

donde P es la potencia introducida en el sistema por el/los motor/es que es el producto del par motor por la rotación del rótor respecto al estátor. Examinemos cada una de las configuraciones descritas

1.- En este caso la rotación del rótor respecto al estátor es con lo que se tiene una potencia P=M

J (dw/dt)=M

2.- En este caso la rotación es la del cono verde menos la de la horquilla, es decir 2w . El resultado es

J (dw/dt)=2 M

3.En este caso la rotación es la de la horquilla respecto al cono azul en cada motor. En el primero se tiene

wk+ ( 3 )1/2 wa= 2 w(k /2 + ( 3 )1/2 a/2)

P=2 M w

 para cada motor, por lo que para el conjunto se tiene

P=4 M w

y

J (dw/dt)=4 M


Para cualquier duda o comentario puede dirigirse al autor


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On 27 Oct 1999, 13:00.