Linealización de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Cuando se tiene una ecuación diferencial ordinaria

F(x,y,y',...,y(n)=0

y una solución de equilibrio y(x)=ye , tal que

F(x,ye ,0,....0)=0

la linealización de la ecuación diferencial en torno a la solución de equilibrio es otra ecuación diferencial con una nueva incógnita z(x)=y(x)-ye . Esta ecuación se forma mediante la fórmula

Fy(x,ye,0,...,0) z(x) + Fy'(x,ye,0,...,0) z'(x)+ ... + Fy(n(x,ye,0,...,0) z(n(x) = 0

que es lineal.

En muchos problemas físicos la variable independiente es el tiempo t y no interviene de forma explícita en la ecuación. Esto se traduce en que la ecuación resultante es homogénea y de coeficientes constantes  (además de lineal), lo que posibilita la resolución para pequeños movimientos de dichas ecuaciones.

Si a partir de un cierto momento la solución del problema linealizado se aleja de la solución inicial, es decir, de ye, entonces la linealización dejará de tener sentido. Por otra parte, si la solución del sistema linealizado se mantiene en las cercanías de la solución inicial la linealización puede representar una buena aproximación a la solución del sistema inicial. 

Las fórmulas anteriores pueden extenderse al caso de sistemas de ecuaciones con varias variables dependientes, tratando F,y,z como matrices columna con tantas filas como ecuaciones o incógnitas.

En algunas ocasiones se tiene una solución de la ecuación inicial

F(x,y,y',...,y(n)=0

que no es constante y=ye(x). En este caso también se puede linealizar la ecuación en torno a la solución de equilibrio, con una nueva ecuación con la incógnita z(x)=y(x)-ye(x)

Fy(x,ye(x),ye'(x),...,ye(n(x)) z(x) + Fy'(x, ye(x),ye'(x),...,ye(n(x)) z'(x)+

+ ... + Fy(n(x,ye(x),ye'(x),...,ye(n(x)) z(n(x) = 0

En este caso también puede generalizarse la expresión a sistemas de ecuaciones.


Autor: J.M. Díaz de la Cruz Cano