Equilibrio en el movimiento plano: 

problema de la "L"

 

Una distribución lineal de masa cuya densidad l = m/(2a) es uniforme tiene forma de "L" con los dos tramos de longitud 2a. En su base y a una distancia a/2 del vértice, se suelda un cono de revolución de altura h y radio de la base r. La base del cono se apoya sin rozamiento sobre un plano horizontal x1y1 fijo. 

Si en el instante inicial se pone en marcha el sólido con una velocidad del centro de masas v0=V i1 y una rotación w0 = W k1. Se define una referencia vinculada al sólido cuyo Origen sea el vértice del cono, su primer eje esté dirigido según la base de la "L" y su tercer eje está dirigido según el tramo vertical de la "L".  Determine 

  1. Obtenga el tensor central de inercia del sólido expresándolo por sus componentes en la base del propio sólido.
  2. Aplique el teorema de la cantidad de movimiento y describa la  evolución del centro de masas del sólido.
  3. Aplique el teorema del momento cinético áxico respecto al eje z y describa la evolución de la rotación del sólido.
  4. Determine el sistema de fuerzas de ligadura obteniendo un vector único equivalente a dicho sistema. Discuta, en función de la posición de la recta soporte de este vector, si el sólido podrá mantener su movimiento plano o no. Calcule la velocidad WM máxima que la forma de sustentación puede aguantar sin que la "L" se caiga.

Obviamente, para la parte vertical, su tensor central es

(I0) = 1/3 m a2 æ
ç
ç
ç
è
1
0
0
0
1
0
0
0
0
ö
÷
÷
÷
ø
 

 

llevado al centro de masas del sistema se tiene una translación (a/2,0,-a/2) con lo que aplicando la fórmula de Steiner se llega a

(I1c) =  m a2 æ
ç
ç
ç
è
7/12
0
-1/4
0
10/12
0
-1/4
0
1/4
ö
÷
÷
÷
ø
 

 

de igual forma, para el tramo horizontal se tiene

(I2c) =  m a2 æ
ç
ç
ç
è
1/4
0
-1/4
0
10/12
0
-1/4
0
7/12
ö
÷
÷
÷
ø
 

 

con lo que el tensor de todo el sólido queda

(Ic) =  m a2 æ
ç
ç
ç
è
5/6
0
-1/2
0
5/3
0
-1/2
0
5/6
ö
÷
÷
÷
ø
 

 

2.- Dado que no hay fuerzas con componente horizontal se tiene

vc=v0

es decir, el centro de masas prosigue su movimiento rectilíneo uniforme.

3.- Como no hay momentos respecto al eje Cz, se tiene que

w= W k1

lo que representa una rotación constante. 

4.- Si se aplica el teorema de la cantidad de movimiento proyectada sobre el tercer eje, se tiene que la resultante de las fuerzas de ligadura es igual al peso 2mg del sólido.

Si se aplica el teorema del momento cnético central se tiene que

-1/2 m a2 W2 j = Nc

con lo que el sistema de fuerzas de ligadura se reduce a una resultante única de valor 2 mg k1 aplicada sobre una recta situada desde el centro de masas por el vector

CP=1/4 a2 W2 /g i

si el módulo de  CP es mayor que r entonces el sólido caerá.


Autor: J.M. Díaz de la Cruz Cano