Rueda con un par aplicado

Sea una rueda homogénea de masa m y radio r inicialmente en reposo apoyada sobre un suelo horizontal.

I.- Se considera en primer lugar la existencia de un coeficiente de rozamiento estático de rozamiento m entre rueda y suelo. Se aplica un par de valor N en sentido horario al eje de la rueda. Se pide:

  1. Suponiendo que se aplica un par que no produce deslizamiento, calcule la velocidad angular, la del centro de masas y la fuerza de rozamiento.
  2. Valores admisibles de N para no haya deslizamiento
  3. Variación temporal de la energía cinética, potencia suministrada por el motor y potencia consumida por el rozamiento.

II.- Teniendo en cuenta ahora una resistencia a la rodadura de coeficiente d además del rozamiento, se pide:

  1. Suponiendo que se aplica un par que mueve la rueda pero no produce deslizamiento, calcule la velocidad angular, la del centro de masas y la fuerza de rozamiento.
  2. Valores admisibles de N para no haya deslizamiento y la rueda gire.
  3. Variación temporal de la energía cinética, potencia suministrada por el motor y potencia consumida por el rozamiento al deslizamiento y la resistencia a la rodadura.

I.-

1.- Las fuerzas que actúan sobre la rueda son: su peso (mg), la reacción normal del plano (Ry), la fuerza de rozamiento (Fr) y el par N. Por lo tanto, las tres ecuaciones de la dinámica plana son

max=Fr

may=Ry - mg -> Ry = mg

1/2 m r2 a = N - r Fr

la hipótesis de no deslizamiento es

ax= r a

con lo que el sistema se resuelve para dar

3/2 m r2 a = N

ax = 2/3 N/(mr)

Fr=2/3 N/r

2.- El valor máximo del par es

N= 2/3 m m g r

   

3.- La energía cinética es

T=3/4 m R2 w2

su derivada temporal es

3/2 m R2 w a  =  N w

la potencia desarrollada por el par es

N w

y la fuerza de rozamiento, al estar aplicada sobre un punto de velocidad nula, es nula. Queda pues que toda la potencia motora se utiliza en acelerar la rueda.

II.-

Las fuerzas que actúan sobre la rueda son: su peso (mg), la reacción normal del plano (Ry), la fuerza de rozamiento (Fr) y el par N. Por lo tanto, las tres ecuaciones de la dinámica plana son

max=Fr

may=Ry - mg -> Ry = mg

1/2 m r2 a = N -Mr - r Fr

la hipótesis de no deslizamiento es

ax= r a

y la de rodadura es

Mr=d m g

con lo que el sistema se resuelve para dar

3/2 m r2 a = N - d m g

ax = 2/3 (N-d m g)/(mr)

Fr=2/3 (N- d m g) /r

2.- El valor máximo del par es

N= (2/3 r m +d ) m g

 

   

3.- La energía cinética es

T=3/4 m R2 w2

su derivada temporal es

3/2 m R2 w a  =  (N - d m g ) w

la potencia desarrollada por el par es

N w

 la fuerza de rozamiento, al estar aplicada sobre un punto de velocidad nula, es nula. La potencia consumida por la resistencia a la rodadura es

d m g  w

 Queda pues que toda la potencia motora se utiliza en acelerar la rueda y en vencer la resistencia a la rodadura. .