Equilibrio del sólido rígido

El estudio de las condiciones de equilibrio de un sólido rígido sirve para encontrar las reacciones de ligadura, determinar si el equilibrio es posible o diseñar la forma de ciertas disposiciones geométricas para que exista el equilibrio. En estas notas nos centramos en los fundamentos del cálculo de las reacciones en los apoyos en los casos más clásicos de la estática del sólido y se remite a la particularización de la dinámica del sólido ligado para profundizar en casos más particulares. 

Contenido

  1. Ecuaciones de equilibrio
  2. Reacciones
  3. Sistemas planos de fuerzas y esfuerzos interiores en vigas
  4. Arcos y bóvedas
  5. Tipos de ligaduras

1  Ecuaciones del equilibrio de un sólido rígido

La condición necesaria y suficiente para que un sólido rígido inicialmente en reposo se mantenga en equilibrio es, según las ecuaciones de la dinámica del sólido rígido, que el sistema de fuerzas que actúan sobre el sólido sea nulo.

Es decir, si la resultante del sistema de fuerzas aplicadas sobre el sólido es F, su momento respecto a un punto O es MO, la resultante del sistema de fuerzas de ligadura es R y su momento respecto a O es NO, entonces

F+R = 0
NO + MO = 0

En la siguiente tabla se recogen las características de algunas de las ligaduras más habituales de un sólido rígido

figura

movimiento sistema de fuerzas de ligadura

Un punto puede moverse sobre una curva sin rozamiento

Resultante única perpendicular a la curva. Su momento respecto al punto es nulo.

Un punto puede moverse sobre una superficie sin rozamiento

Resultante única perpendicular a la superficie. Su momento respecto al punto es nulo.

El sólido tiene un punto fijo

Resultante única. Su momento respecto al punto es nulo.

 El sólido puede girar y deslizar sobre un eje

 Resultante perpendicular al eje. El momento respecto a cualquier punto del eje es perpendicular al mismo.

El sólido puede girar y deslizar en torno a un eje

Resultante de cualquier dirección. El momento respecto a cualquier punto del eje es perpendicular al mismo.

El sólido puede moverse paralelamente a un plano

Resultante normal al plano y momento respecto a cualquier punto del espacio paralelo al plano.

 

2  Reacciones en los apoyos

Cuando se tiene un sólido rígido ligado en equilibrio, el sistema de fuerzas conjunto entre el de ligadura y el de fuerzas aplicadas es nulo. Esto quiere decir que las componentes que permite el sistema de ligaduras admiten al menos un conjunto de valores que hacen que el sistema global sea nulo. Un problema muy típico de la estática del sólido rígido consiste en el cálculo del sistema de fuerzas de ligadura en una determinada situación de equilibrio. La metodología de resolución siempre es la misma.

  1. Se halla la resultante F del sistema de fuerzas aplicadas, así como su momento MO respecto a algún punto O seleccionado.
  2. se identifican las fuerzas de ligadura y se establece un conjunto de parámetros independientes que defina el sistema de vectores deslizantes de las fuerzas de ligadura, es decir, su resultante R y su momento respecto a O, NO
  3. Se plantean las ecuaciones de equilibrio del sólido
    F+R = 0
    MO+NO = 0

Del estudio del sistema de ecuaciones anterior tomando como incógnitas las componentes del sistema de fuerzas de ligadura, se puede desprender alguno de los siguientes resultados:

  1. el sistema es compatible determinado. En este caso el sistema se denomina isostático
  2. el sistema es compatible indeterminado. En este caso el sistema se denomina hiperestático. El sistema está más ligado que lo que es necesario y puede suprimirse alguna ligadura sin que peligre el equilibrio.
  3. el sistema es incompatible. En este caso el sistema se denomina hipostático. El sistema está menos ligado que lo que es necesario y no puede asegurarse el equilibrio.

Cuando se pueda considerar que las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido se reducen a dos, se dice que dicho sólido es un elemento de dos fuerzas. Las condiciones de equilibrio determinan que las dos fuerzas compartan la misma recta soporte, el módulo y la dirección, siendo sus sentidos diferentes; es decir, las fuerzas forman una  pareja de vectores. Un ejemplo de sistemas estáticos que se componen de elementos de dos fuerzas los constituyen las estructuras de barras articuladas. En ellas se disponen conjuntos de barras de peso despreciable unidas al resto de la estructura o ancladas a un elemento fijo como el suelo mediante articulaciones (fijas o móviles) dispuestas en sus extremos. Este par de fuerzas viene definido por el módulo de cada una, su dirección (la del segmento que une sus puntos de aplicación) y su sentido, que puede ser de compresión o de tracción.

3. Sistemas planos

Un caso particular especialmente interesante lo constituyen los sistemas planos de fuerzas actuando sobre un sólido rígido. En este caso, el sistema de fuerzas de ligadura es coplanario con las fuerzas aplicadas es decir, puede reducirse a una resultante coplanaria y su momento respecto a cualquier punto del plano es normal al plano.

En estas condiciones las condiciones de equilibrio se reducen a

Fx + Rx = 0
Fy + Ry = 0
Mz + Nz = 0

Estas ecuaciones son de amplia aplicabilidad en el estudio de vigas apoyadas. Una combinación de cojinetes que asegure que el único movimiento posible del sólido rígido sea una rotación en torno al eje de los cojinetes se denomina articulación. Según la movilidad de una articulación se pueden construir diferentes tipos de ligadura sobre un sólido, de las que las más importantes son

  1. apoyo articulado fijo: cuando  su eje tenga una posición fija perpendicular al plano de fuerzas. En este caso el único movimiento permitido al sólido es una rotación en torno al eje de la articulación. El sistema de fuerzas de ligadura se reduce a una resultante que puede tener cualquier módulo dirección y sentido en el plano y un momento nulo respecto a cualquier punto del eje. En el esquema de la figura, se tienen las componentes del sistema de fuerzas de ligadura RAx,RAy.
  2. apoyo articulado fijo: cuando el eje de la articulación , normal al plano de fuerzas, puede moverse paralelamente a un plano fijo. En este caso el único movimiento permitido al sólido es una rotación libre en torno al eje y una translación de los elementos del eje normal al eje y paralela al plano de fuerzas. El sistema de fuerzas de ligadura se reduce a una resultante normal al eje y a la dirección de posibles movimientos de sus puntos.En el esquema de la figura, se tiene la única componente del sistema de fuerzas de ligadura RBy.

Un tipo de ligadura muy habitual es el empotramiento. En éste se sujeta al sólido por el punto de empotramiento y se impide cualquier movimiento del mismo. El sistema de fuerzas de ligadura es un sistema de vectores deslizantes sin ninguna restricción. En el esquema de la figura, se tienen las componentes del sistema de fuerzas de ligadura RAx,RAy, Ne (momento de empotramiento)

.

En sistemas planos de fuerzas con un sólido apoyado con articulaciones o empotramientos, se tienen 3 ecuaciones de equilibrio e I=2F+M+3*E incógnitas, donde F,M,E son el número de apoyos articulados fijos, móviles y empotramientos. Si I=3 el sistema es, en general, isostático; si I>3 el sistema es, en general, hiperestático; si I<3 el sistema es, en general, hipostático.

Esfuerzos interiores en vigas

 esf.jpg

Cuando una viga esté en equilibrio, el conjunto de fuerzas que soporta en cualquiera de sus tramos es nulo. Sea AB una viga en equilibrio y un punto M interior al segmento AB. Como el tramo AM está en equilibrio, en el punto M la viga recibe de la parte MB una acción que compense la de las fuerzas que actúan en el tramo AM, es decir, una acción igual a la del sistema de fuerzas que actúa en el tramo MB. Como el sistema de fuerzas que actúa sobre MB se podrá reducir a una resultante R y un momento respecto a M NM, el esfuerzo interior en M se divide en

4  Arcos y bóvedas

Cuando dos sólidos están en contacto en ausencia de rozamiento el sistema de fuerzas que intercambian es un sistema de fuerzas normales a las superficies de contacto y su sentido es siempre el correspondiente a una compresión. Si para un conjunto de sólidos rígidos en contacto existe un sistema de reacciones normales de compresión tal que se verifiquen las ecuaciones de equilibrio, entonces el sólido se encuentra en equilibrio.

A continuación se aplican estas leyes al estudio del equilibrio de arcos y bóvedas. Actualmente estamos preparando un documento más amplio sobre el tema que incluya cúpulas, tejados, etc. Debido a la demanda de material por parte de los estudiantes, adelantamos esta sección. Un arco está formado por una sucesión de elementos sólidos, llamados dovelas que está unidos entre sí por caras planas laterales, como muestra la figura.

Las fuerzas entre dos dovelas, si no hay rozamiento, constituyen un sistema de vectores deslizantes paralelos y del mismo sentido, ya que el único que puede corresponder a cada elemento de superficie es el que se dirige hacia el exterior de la dovela. Por lo tanto, el sistema de fuerzas entre dos dovelas puede reducirse a una resultante única que corta al plano de apoyo dentro de la superficie ocupada por la dovela. De hecho, si se llama Ti a la fuerza única equivalente al sistema que ejerce la dovela i-ésima sobre la i-1-ésima, y se denomina Fi al vector deslizante equivalente al sistema de fuerzas gravitatorias que actúan sobre la dovela i-ésima, se tiene que el sistema

S = {Ti , Ti-1 , Fi }
es nulo. Pero esta es la condición que define la existencia de un polígono funicular del sistema de fuerzas Fi. Se tiene por tanto que la representante única del sistema de fuerzas que la i-ésima dovela realiza sobre la anterior es el vector deslizante Ti. La condición necesaria y suficiente para el equilibrio de arcos es que exista un polígono funicular del sistema de pesos de todas las dovelas que corte normalmente a los planos de las dovelas en el área ocupada por éstas, y que, además, para que los sentidos de estas fuerzas sean los adecuados, tenga la "concavidad" descendente.

Si se admite un coeficiente de rozamiento m = tan(a) entre las dovelas, entonces el ángulo entre el lado del funicular y la normal al plano de la dovela debe ser menor o igual que a.

Es evidente que si existe un polígono funicular para un sistema de dovelas que permite el equilibrio y si dos o más de éstas se reagrupan formando un único sólido rígido (un dovela más grande), entonces existe un polígono funicular con un lado menos que también permite el equilibrio de este nuevo sistema. Extendiendo esta propiedad hasta el límite, puede decirse que si existe una curva funicular del sistema de densidades lineales de peso que verifique las condiciones de equilibrio, entonces éste es posible para un sistema de dovelas.

Como es bien conocido, la curva funicular de un sistema de peso por unidad de longitud constante es una catenaria. Así pues, la condición de equilibrio de un arco es

Las bóvedas son la prolongación bidimensional obtenida por la extrusión de un arco normalmente a su plano. Las mismas condiciones que rigen el equilibrio del arco rigen el equilibrio de la bóveda. Las bóvedas pueden apoyarse en las paredes laterales (p.e. bóvedas de cañón) o en nervios, que son arcos que van a parar a columnas, de forma que se logran estructuras más diáfanas. Estas bóvedas pueden ser de diversas formas (crucería, aristas, etc). 

                   

Los arcos ejercen sobre sus bases (arranques) unas fuerzas con componentes verticales (la mitad del peso del arco sobre cada arranque) y horizontales, que son constantes. Las componentes verticales comprimen las columnas o paredes laterales, lo que no plantea grandes problemas. Sin embargo, la componente horizontal de la tensión puede arruinar por flexión las columnas o paredes laterales.  La relación entre la altura h de la catenaria, su semianchura a y la componente horizontal de la tensión T0, para un peso por unidad de longitud p ,es

h = T0/p cosh (pa/T0)

y para un peso por unidad de abscisa w es

h = w a2/2T0)

lo que pone de manifiesto que para disminuir la tensión, lo mejor es aumentar la altura del arco y basar su equilibrio en catenarias ( o parábolas) muy apuntadas. El gran avance de la época gótica en la construcción de catedrales radicó, precisamente, en la mayor esbeltez de las bóvedas y arcos cuyo empuje lateral es mucho menor. 

vista interior de la catedral de Chartres, donde se aprecia la esbeltez de formas de los arcos

Las naves laterales, más bajas y coronadas por semibóvedas, recogen los esfuerzos laterales de la bóveda central. Los pináculos "verticalizan aún más el empuje, para facilitar que el funicular sea interior a los finos muros o columnas de este estilo arquitectónico, como muestra la figura.

Además, para dejar que las paredes, pilares o columnas sólo trabajasen a compresión, se introdujo un nuevo elemento constructivo, los arbotantes, que consistían en un arco exterior que recogía en su vértice superior los esfuerzos laterales de las bóvedas adoptando, para la consecución del equilibrio, la forma de un arco con una catenaria (al menos una) totalmente incluida en su interior. En loa siguiente figura se muestran los arbotantes de la catedral de Chartres, una de las joyas de este estilo arquitectónico.


Dudas: J.M. Díaz de la Cruz Cano