Geometra de masas

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  1. Características de inercia de un sólido
  2. Distribuciones de masas
  3. Momentos estáticos
  4. Momentos de inercia
  5. Tensor y elipsoide de inercia
  6. Frmula de Steiner para el tensor de inercia
  7. Simetras en la distribución
  8. Tabla de momentos de inercia

1  Características de inercia de un sólido

Considerando la mecánica como la ciencia que se ocupa del estudio de la evolución de los sistemas materiales y las causas que la producen, podemos preguntarnos sobre los aspectos o parámetros del sólido que tienen transcendencia en el ámbito de la mecánica. Si centramos el objeto de nuestro estudio en el sólido rígido, entonces su evolución viene determinada por la cinemática de los sistemas indeformables. Además, adelantando un resultado de Dinámica, las causas que producen la evolución del sólido rígido pueden ser encajadas en los sistemas de vectores deslizantes. Queda, por tanto, el estudio de la relación entre el movimiento del sólido y sus causas. En esta relación intervienen las propias características de cada sólido y, de éstas, sólo los momentos de órdenes cero, uno y dos. Dicho de otra forma, la única información necesaria para relacionar los sistemas de fuerzas que actúan sobre un sólido con la evolución posterior de éste son los momentos de orden hasta el segundo de dicho sólido. En [1] se analiza ampliamente esta relación y en estas notas se presenta y desarrolla el tratamiento de estos momentos, que es lo que se conoce tradicionalmente como Geometría de masas.

2  Distribuciones de masas

Desde el punto de vista de la mecánica racional, un sólido rígido es un ente ideal compuesto por un conjunto de puntos materiales que mantienen sus distancias mutuas durante su evolución. Dicho conjunto de puntos materiales puede estar compuesto por masas finitas, constituyendo un conjunto discreto, por distribuciones volúmicas, superficiales o lineales, en cuyo caso recibe el nombre de continuo, o bien, pueden existir puntos de masa finita y distribuciones continuas en un mismo sólido.

En sistemas discretos, puede suponerse la existencia de un conjunto finito de n puntos Pi de masa mi posicionados respecto a un origen O por su vector de posición OPi = ri     i {1n}. La masa total, M del sólido es

M = n

i = 1 
mi
En sistemas continuos no puede hablarse de la existencia de una masa finita en cada punto, sino de una densidad de masa, ya sea volúmica (r), superficial (s) o lineal (l). Según sea el caso, la masa total vendrá dada por un integral volúmica, de superficie o de línea:
M
=

rdV
M
=

sdS
M
=

ldl

La definición de momentos de distribuciones de masas utiliza sumatorios o integrales de los tipos anteriores para extender una suma a un conjunto discreto o continuo de puntos. Con objeto de no repetir definiciones en cada uno de los cuatro casos anteriores, se asumirá una distribución volúmica. Los sumatorios y las integrales de superficie y de línea pueden reducirse a integrales volúmicas con la introducción de funciones basadas en la d de Dirac.

3  Momentos estáticos

Dado un punto O, que se toma como origen de coordenadas, se define como momento estático MO respecto a O al vector:

MO =
OP rdV =
r rdV

Una distribución cualquiera de masas, por tanto, define un campo de vectores MO en cada punto O del espacio. Veamos a continuación la relación entre los momentos estáticos de una distribución de masas respecto a dos puntos O y O cualesquiera.

MO =
OP rdV =
(OO + OP) rdV =
-
OO rdV +
OP rdV = MO - M OO
(1)
es decir, la diferencia entre los momentos estáticos de una distribución respecto a dos puntos O y O cualesquiera es el producto de la masa por el vector OO.

Se define centro de masas de una distribución al punto respecto al cual el momento estático es nulo. Llamaremos C a este punto, cuya existencia y unicidad está garantizada , pues, por la ecuación (1), se obtiene:

MC = 0 = MO - M OC OC = MO
M
lo que permite posicionar el centro de masas C de una distribución conocido el momento estático respecto a un punto cualquiera y la masa.

Ya se ha citado que una distribución de masas define un campo de momentos estáticos. Puede utilizarse la ecuación (1) para visualizar la forma de este campo. En efecto, MO = M OC por lo que se trata de un campo central emergente con simetría radial, lineal con la distancia al centro de masas.

Al igual que se ha definido el momento estático respecto a un punto, se puede definir el momento estático respecto a una recta. La posición relativa entre dos puntos viene dada por el vector que los une, sin embargo la posición relativa de un punto P respecto a una recta viene determinada por el vector perpendicular a esta última que tiene como origen uno de sus puntos y como extremo el punto P . La expresión analítica de este vector es, según se explica en [2], u ×(OP ×u), siendo O un punto de la recta y u un vector unitario de su misma dirección. El momento estático respecto a una recta d se define,

Md =
u ×(OP ×u) rdV

Para que esta definición sea correcta, el momento estático no debe depender ni del sentido elegido para el vector u ni de la elección del punto O sobre la recta. Evidentemente, la elección del sentido de u, al aparecer éste multiplicando dos veces el integrando, no influye en el resultado de la integral. En cuanto a la elección del punto O, supondremos que se ha elegido un punto O y veremos que el resultado obtenido es el mismo. Dado que O,O d OO = lu OP = OO + OP Por lo que

Md =
u ×((OO + OPu) dV =

u ×((lu + OPu) dV =
u ×( OP×u) dV = Md
Puede relacionarse el momento estático respecto a una recta con el momento estático respecto a uno cualquiera de sus puntos.
Md =
u ×( OP×u) dV = u ×[ (
OP dV)×u] = u ×[ MO ×u]
Es decir, el momento estático respecto a una recta es la proyección sobre el plano perpendicular a dicha recta del momento estático respecto a cualquiera de sus puntos. Además, ya que OC = [(MO)/M], se concluye que el centro de masas se encuentra sobre una recta paralela a d desplazada respecto a ésta el vector [(Md )/M]. Si la recta d contiene a C, entonces, obviamente, Md = 0.

De la misma forma que se ha definido el momento estático para rectas, se puede definir para planos. Sea p un plano, u un vector unitario perpendicular y O un punto de p. Se define el momento estático respecto al plano p como:

Mp =
(u·OP)u rdV
Esta definición no debe depender de la elección del sentido de u ni de la del punto O. En efecto, la aparición del vector multiplicando dos veces en el integrando hace que éste no dependa del sentido de u. En cuanto a la elección de O, sea O p:
Mp =
(u ·OP)u rdV =
(u ·[OO + OP])u rdV
Mp =
(u ·OP)u rdV = Mp
ya que u ·OO = 0 pues O,O pertenecen a p.

Se comprueba que

Mp =
(u·OP)u rdV = (u·[
OPrdV])u
es decir, que el momento estático respecto a un plano es la proyección perpendicular al mismo del momento estático respecto a cualquiera de sus puntos. Igualmente, el momento estático respecto a un plano proporciona información sobre la posición del centro de masas respecto a dicho plano. En efecto, si el momento estático respecto a p de una distribución de masas es Mp, entonces C se encuentra en un plano paralelo al anterior, desplazado [(Mp )/M] y, si C p Mp = 0.

Dado que si i,j,k son tres vectores unitarios perpendiculares, se tiene:

OP = (OP·i)i + (OP·j)j + (OP·k)k
se tiene que
MO = (Myz·i)i + (Mzx·j)j + (Mxy·k)k MO = Myz + Mzx + Mxy
es decir, el momento estático respecto a un punto es la suma de los momentos estáticos respecto a tres planos mutuamente perpendiculares que pasen por dicho punto.

Por otra parte, dado que

OP = 1
2
[ i ×(OP×i) + j ×(OP×j) +k×(OP×k) ]
se tiene que
MO = 1
2
[Mx + My + Mz]
es decir, el momento estático respecto a un punto es la semisuma de los momentos estáticos respecto a tres rectas mutuamente perpendiculares que pasen por dicho punto.

Se puede completar la relación anterior aña diendo la relación entre los momentos estáticos respecto a rectas y planos. En efecto, dado que

i ×(OP ×i) = (j·OP)j + (k·OP) k
se tiene que
Mx = Mzx + Mxy
es decir, el momento estático respecto a una recta es la suma de los momentos estáticos respecto a dos planos mutuamente perpendiculares que la contengan.

4  Momentos de inercia

Los momentos estáticos tratados en la sección anterior se conocen también como momentos de primer orden, ya que las distancias de los puntos másicos a los elementos respecto a los que están definidos intervienen con exponente uno (el momento de orden cero sería la masa total de la distribución). Como hemos dicho en la introducción, nos interesan los momentos de hasta el segundo orden. Estos se denominan momentos de inercia e intervienen en casi todas las ecuaciones de la dinámica del sólido rígido. Al igual que los momentos estáticos, se definen respecto a puntos, rectas y planos y, a diferencia de aquéllos, también se definen respecto a pares de planos. Comencemos por los momentos de inercia respecto a puntos o momentos de inercia centrales.

Dado un punto O, se define el momento de inercia respecto a O, y se denotará IO, a:

IO =
nor
(OP) rdV
El momento de inercia será siempre, por su definición, mayor que cero (excepto en el caso de una masa puntual respecto al punto en que esté concentrada, en cuyo caso sería nulo. Puede relacionarse el momento de inercia respecto a un punto O cualquiera con el momento de inercia respecto al centro de masas C.
IO =
nor
(OC+CP) rdV =
[ nor
(OC)+2 OC·CP + nor
(CP)] rdV =
= nor
(OC)
rdV + IC + 2 OC ·MC
Pero como MC = 0, se tiene
IO = M nor
(OC) + IC
lo que indica que el momento de inercia central es mínimo en el centro de masas y se incrementa respecto a éste en el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre C y O.

Los momentos de inercia más útiles son los que se definen respecto a rectas. Sean una recta d, un vector unitario paralelo a ella u y uno de sus puntos O. Se define el momento de inercia Id respecto a d como

Id =
nor
(OP ×u) rdV
La definición anterior es correcta, pues no depende ni del sentido asignado a u (neutralizado por la norma), ni de la elección de O, ya que cualquier otro punto definiría un vector OP = lu + OP que multiplicado vectorialmente por u daría el mismo resultado.

El momento de inercia será siempre positivo, excepto si la distribución de masas está contenida en la recta d, en cuyo caso es nulo.

Se puede relacionar el momento de inercia de una distribución cualquiera de masas respecto a una recta d con el correspondiente respecto a una recta dCparalela a d que contenga al centro de masas.

Id =
nor
[(OC+CPu] rdV =
=
[ nor
(OC×u)+2 (OC×u)·(CP ×u)+ nor
(CP×u)] rdV =
= nor
(OC×u)
rdV + IdC + 2 (OC×u) ·(MC ×u)
Pero como MC = 0, se tiene
Id = M nor
(OC×u) + IdC
El primer sumando del segundo miembro de la expresión anterior es el producto de la masa por el cuadrado de la distancia del centro de masas a d (o, si se prefiere, la distancia entre d y dC). Esta ecuación se conoce como fórmula de Steiner. De ella se deduce que de todas las rectas paralelas a una dada, la que menor momento de inercia presenta es la que pasa por el centro de masas.

Se suele definir el radio de giro kd de una distribución de masas respecto a la recta d como el radio de un cilindro de revolución de eje d, homogéneo y de masa igual a la de la distribución original que defina el mismo momento de inercia respecto a d. Por lo tanto,

kd =   
 


Id
M
 

Sean un plano p , un vector unitario perpendicular u y un punto O contenido en p. Se define el momento de inercia respecto a p como:

Ip =
(OP ·u)2 rdV
que es, obviamente, independiente del sentido de u y de la elección de O, ya que otro punto O haría OP = OO + OP y OO·OP = 0. El momento Ip será positivo excepto si la distribución de masas está contenida en el plano p en cuyo caso sería nulo.

Se puede relacionar el momento de inercia de una distribución cualquiera de masas respecto a un plano p con el correspondiente respecto a un plano pCparalelo a p que contenga al centro de masas.

Ip =
[(OC+CPu]2 rdV =
[(OC·u)2+2 (OC·u)(CP ·u)+ (CP·u)2] rdV =
= (OC·u)2
rdV + IpC + 2 (OC·u) (MC ·u)
Pero como MC = 0, se tiene
Ip = M (OC·u)2 + IpC
El primer sumando del segundo miembro de la expresión anterior es el producto de la masa por el cuadrado de la distancia del centro de masas a p (o, si se prefiere, la distancia entre p y pC). De esta ecuación se deduce que de todos los planos paralelos a uno dado, el que menor momento de inercia presenta es el que pasa por el centro de masas.

Finalmente, se define el producto de inercia respecto al par de planos orientados p,p. Sean u,u dos vectores unitarios normales a p y p congruentes con sus respectivas orientaciones. Sean asímismo O,O dos puntos de p y p respectivamente. Se define el producto de inercia

Ppp =
(OP·u)(OP·u) rdV
que no depende de la elección de O,O ya que OP,OP están multiplicados escalarmente por U,u respectivamente. Evidentemente, el producto de inercia es simétrico respecto a los planos que lo definen. A diferencia de los momentos de inercia respecto a puntos, rectas o planos, el producto de inercia puede ser positivo, negativo o nulo.

Se puede relacionar el producto de inercia de una distribución cualquiera de masas respecto a un par de planos p,p con el correspondiente a un par de planoa paralelos pC, pC que pasen por el centro de masas.

Pp,p =
(OP·u)(OP·u)rdV =
=
(OC + CP·u)(OC + CP·u)rdV =

[(OC·u)(OC·u) +( OC ·u)(CP·u) +
+ (CP·u)(OP·u) + (CP·u)(CP·u)]rdV
Pero como MC = 0, se tiene
Ppp = M (OC·u)(OC·u) + PpC pC
El primer sumando del segundo miembro de la expresión anterior es el producto de la masa por el producto de las distancias con signo desde los planos orientados al centro de masas (o, si se prefiere, el producto de las distancias de p a pC y de p a pC).

Si i,j,k son tres vectores unitarios perpendiculares, se tiene:

nor
OP = (OP·i)2+ (OP·j)2 + (OP·k)2
nor
OP = 1
2
[ nor
(OP×i) + nor
(OP×j) + nor
(OP×k) ]
se tiene que
IO = Iyz + Izx + Ixy = Ix + Iy + Iz
2
y que
Ix = Izx+Ixy
2

5  Tensor y elipsoide de inercia

Si el vector unitario u y el vector OP se expresan por sus componentes en una base ortonormal u = cosai + cosbj + cosgk, OP = x i + y j + z k, se tiene:

nor
(OP ×u) = nor
OP nor
u - (OP·u)2 =
= (x2 + y2 + z2) - (x cosa+ y cosb+ z cosg)2 =
x2(1- cos2 a) + y2 (1- cos2 b) + z2 (1-cos2 g) -
- 2 yz cosbcosg- 2 zx cosgcosa- 2 x y cosacosb =
= x2(cos2 b+ cos2 g) + y2 (cos2 g+ cos2 a)+ z2 (cos2 a+ cos2 b) -
- 2 yz cosbcosg- 2 zx cosgcosa- 2 x y cosacosb =
= cos2 a(y2 +z2) + cos2 b(z2 +x2) + cos2 g(x2 +y2) -
- 2 yz cosbcosg- 2 zx cosgcosa- 2 x y cosacosb
Por lo que, si d es una recta paralela a u que pasa por O, se tiene
Id =
[ cos2 a(y2 +z2) + cos2 b(z2 +x2) + cos2 g(x2 +y2) -
- 2 yz cosbcosg- 2 zx cosgcosa- 2 x y cosacosb] rdV =
Id = cos2 aIx + cos2 bIy + cos2 gIz - 2 cosbcosgPyz - 2 cosgcosaPzx - 2 cosacosbPxy
(2)
La expresión (2) representa una función cuadrática en cosa, cosb, cosg que se puede representar de la forma:
Id =
cosa
cosb
cosg





Ix
-Pxy
- Pzx
-Pxy
Iy
-Pyz
-Pzx
- Pyz
Iz








cosa
cosb
cosg




(3)
Id es un escalar,

cosa
cosb
cosg

son las componentes del vector u y la matriz




Ix
-Pxy
- Pzx
-Pxy
Iy
-Pyz
-Pzx
- Pyz
Iz




representa las componentes en forma matricial simétrica de la función cuadrática Id(u). Por lo tanto 1 , la expresión
l(u) =



Ix
-Pxy
- Pzx
-Pxy
Iy
-Pyz
-Pzx
- Pyz
Iz








cosa
cosb
cosg




representa una función vectorial de variable vectorial. Por consiguiente, las matriz M que representa esta función cambia sus componentes al cambiar de base de referencia según las fórmulas de cambio de base ortonormal:
M = T M T
y representa las componentes del tensor o diádica de inercia.

El concepto de tensor traduce la idea de una función vectorial de variable vectorial con existencia intrínseca, es decir, independiente de la base o forma elegida para su representación. La función l(u) representa una auténtica función vectorial, que no puede representarse meramente por una matriz, pues frente a un cambio de base, debe cambiar de componentes. En nuestro desarrollo hemos partido de la radiación de rectas que pasaba por un punto O. Queda, pues, definido un tensor de inercia en cada punto del espacio. Utilizaremos una doble barra sobre una letra mayúscula para denotar un tensor. El tensor de inercia del punto O se escribirá IO y en la base i,j,k queda definido por la matriz

(

I
 


0 
)x,y,z =



Ix
-Pxy
- Pzx
-Pxy
Iy
-Pyz
-Pzx
- Pyz
Iz




Frente a un cambio de base a la i,j,k se tiene:




Ix
-Pxy
- Pzx
-Pxy
Iy
-Pyz
-Pzx
- Pyz
Iz




= T



Ix
-Pxy
- Pzx
-Pxy
Iy
-Pyz
-Pzx
- Pyz
Iz




T
y el momento de inercia respecto a d se puede escribir Id = u ·IO u = u ·l

En algunas ocasiones es útil disponer de una representación geométrica de las características de inercia de un sólido en un punto O. Para ello se define el elipsoide de inercia de O de la siguiente forma:

Sobre cada una de las rectas que pasan por O, se lleva a ambos lados la distancia [k/({Id }1/2)], donde k es una constante arbitraria positiva con dimensiones de [m][1/2] [L]2. Se tiene entonces la superficie:

r = k



Id
u Id nor
r = k2 =
= (|r| u) ·(

I
 
)O (|r|u) = k2
= r ·(

I
 
)O r = k2
Ix x2 + Iy y2 + Iz z2 - 2 Pyz y z - 2 Pzx z x - 2 Pxy x y = k2
ecuación de un elipsoide referido a su centro. El tensor de inercia viene representado por una matriz simétrica que, dado que Id 0 debe tener tres valores propios reales no negativos y , al menos, tres direcciones invariantes asociadas mutuamente perpendiculares. Si se eligen estas direcciones como base para representar el tensor, la matriz será diagonal con los momentos de inercia (que serán los valores propios) respectivos en dicha diagonal. La representación del elipsoide de inercia tensor en esta referencia sería
Ix x2 + Iy y2 + Iz z2 = k2
en la que se aprecia que está referido a sus ejes.

Cuando el elipsoide de inercia es de revolución, entonces existe un eje de revolución y todos los perpendiculares a este eje que pasan por el centro son asímismo ejes del elipsoide, todos ellos tienen el mismo momento de inercia y determinan lo que se conoce como plano ecuatorial. En este caso el tensor de inercia tiene un valor propio doble y otro simple, correspondiendo el autovector de este último a la dirección del eje de revolución, mientras que el subespacio propio asociado al autovalor doble es el plano ecuatorial. Si el elipsoide es esférico, entonces todas las rectas que pasan por el centro son ejes del mismo, comparten el mismo momento de inercia y el tensor de inercia se puede escribir, en cualquier base, como el producto del momento de inercia común por el tensor identidad U.

La ecuación recién obtenida evidencia que el mayor y el menor momento de inercia del sólido se da, respectivamente sobre el menor y mayor eje del elipsoide.

6. Frmula de Steiner para el tensor de inercia

Una distribucin de masas define un tensor de inercia en cada punto del espacio. Los tensores de inercia del centro de masas y de un punto O cualquiera estn relacionados, de forma que si se elige una base xyz en la que representar los tensores de inercia y el vector OC, se tiene

(IO)xyz=(IC)xyz+ M (OC)T (OC) U- M (OC) (OC)T

donde (IO)xyz,(IC)xyz son las matrices de componentes de los tensores de O y de C en la base xyz y (OC) es la matriz columna 3x1 que contiene las componentes del vector OC en la base xyz.

7  Simetras en la distribución

Cuando la distribución de masas de partida presenta algunas características especiales de simetría, entonces los momentos estáticos y los de inercia presentan algunas relaciones predecibles, que se explicitan a continuación:


Notas :

1según los resultados del Algebra Lineal, una forma cuadrática determina un tensor o diádica simétrica, la cual, a su vez, define una función vectorial lineal


Dudas: J.M. Daz de la Cruz Cano