Cuestiones de cinética del sólido

breve recordatorio

1-. Sea s una superficie esférica hueca de centro O, radio R, masa m y P un punto de la misma. Se define una base xyz cuyo primer eje está dirigido según OP. El sólido s gira en torno al eje de dirección y que pasa por P con velocidad w. Obtenga

    a.- el momento de inercia respecto al eje Ox 

    b.- la expresión matricial del tensor de inercia de P en la base xyz.

    c.- la energía cinética de s y su momento cinético respecto a P.


Solución

En primer lugar se procede al cálculo del momento de inercia respecto al punto O, que resulta ser, evidentemente

IO= mR2 

El momento de inercia respecto a un punto es la suma de los momentos de inercia respecto a tres planos mutuamente perpendiculares cuya intersección sea ese punto, por lo que

IO= mR2 = Ixy+Izx+Iyz

Debido a la simetría, los momentos Ixy,Izx,Iyz son iguales, por lo que

1/3 mR2 = Ixy

el momento de inercia respecto al eje x  es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a los planos xy , zx que son iguales entre sí, por lo que 

Ix=Iy=Iz=2/3 mR2 

El tensor central de inercia en la base dada es diagonal, pues los tres planos coordenados son planos de simetría, con lo que

 
(IC) = 2/3 mR2 æ
ç
ç
ç
è
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ö
÷
÷
÷
ø
 

 

aplicando la fórmula de Steiner para el tensor de inercia se tiene

 
(IP) =  1/3 mR2 æ
ç
ç
ç
è
2
0
0
0
5
0
0
0
5
ö
÷
÷
÷
ø

Como P es un punto fijo de   s entonces el momento cinético se puede calcular

  
(LP)=(IP) · (w)=  1/3 mR2 æ
ç
ç
ç
è
2
0
0
0
5
0
0
0
5
ö
÷
÷
÷
ø
æ
ç
ç
ç
è
0
w
0
ö
÷
÷
÷
ø

con lo que 

LP=5/3 mR2 w j

y la energía cinética es

T=1/2 (w)' ·(IP) · (w) =  1/6 mR2(0 w 0) 

æ
ç
ç
ç
è
2
0
0
0
5
0
0
0
5
ö
÷
÷
÷
ø
æ
ç
ç
ç
è
0
w
0
ö
÷
÷
÷
ø

con lo que

T=5/6 mR2 w2


2.- Calcule la expresión matricial del tensor central de inercia de un cilindro homogéneo de revolución de radio R, altura h y masa m en una referencia cuyo tercer eje sea el de revolución del cilindro. Si se le comunica al centro de masas del cilindro una velocidad v(i+k) y se hace rotar el cilindro con una rotación W(i+j+k), calcule el momento cinético respecto al centro de masas y su energía cinética. 


Solución

El momento de inercia respecto al eje de revolución del cilindro es

1/2 mR2
con lo que el momento de inercia respecto a un plano que contenga al eje z es
1/4 m R2
y respecto al plano Cxy es
1/12 m h2
de forma que el momento de inercia respecto a al eje x o al eje y es
1/12 m ( 3 R2 + h2 )
con lo que el tensor tiene por componentes en la base dada

 

(Ic)= m æ
ç
ç
ç
è
1/12 (h2 + 3R2)
0
0
0
1/12 (h2 + 3R2)
0
0
0
1/2R2
ö
÷
÷
÷
ø

para el momento cinético se tiene

(Lc)=(Ic)(w)= m æ
ç
ç
ç
è
1/12 (h2 + 3R2)
0
0
0
1/12 (h2 + 3R2)
0
0
0
1/2R2
ö
÷
÷
÷
ø
æ
ç
ç
ç
è
 W
 W
 W
ö
÷
÷
÷
ø

con lo que

Lc= 1/12 (h2 + 3R2) m W i + 1/12 (h2 + 3R2) m W j +1/2 R2 m W k

La energía cinética se puede determinar mediante el segundo teorema de Könnig.

T = 1/2 m Vc2 + 1/2 w · Ic · w

T= m v2 + 1/2 (1/6 h2 + R2) m W2

 


3.- Obtenga la expresión matricial del tensor de inercia del vértice A de un paralelepípedo rectangular de lados 2a,2b,2c en una base paralela a los lados del paralelepípedo, en la que los ejes x,y,z sean paralelos a los lados de longitud 2a,2b,2c. Suponga que el vector CA tiene por componentes a,b,c en la base anterior. Si se mantiene el punto A fijo y se imprime al sólido una rotación W i, calcule su momento cinético respecto al punto A y su energía cinética.


Solución

Los momentos de inercia respecto a los planos de simetría del paralelepípedo son:

xy

zx

yz

1/3 m c2

1/3 m b2

1/3 m a2

de forma que los momentos de inercia respecto a los ejes son

x

y

z

1/3 m (b2+c2)

1/3 m (c2+a2)

1/3 m (a2 + b2)

con lo que el tensor central de inercia queda
IC = 1/3 m æ
ç
ç
ç
è
b2+c2
0
0
0
c2+a2
0
0
0
a2+b2
ö
÷
÷
÷
ø

y aplicando la fórmula de Steiner para el tensor de inercia se obtiene el de A:

 
IA = m æ
ç
ç
ç
è
2/3 (b2+c2)
-a b
-c a
-a b
2/3(c2+a2)
-b c
- c a
- b c
2/3(a2+b2)
ö
÷
÷
÷
ø

Para obtener su momento cinético se multiplica el tensor por la rotación, como en el primer ejercicio, obteniéndose

 
(LA )= m æ
ç
ç
ç
è
4/3 (b2+c2)
-a b
-c a
-a b
4/3(c2+a2)
-b c
- c a
- b c
4/3(a2+b2)
ö
÷
÷
÷
ø
æ
ç
ç
ç
è
W
0
0
ö
÷
÷
÷
ø

 

LA= 4/3 m (b2+c2)W i - m a b W j - m c a W k

La energía cinética se obtiene multiplicando la expresión anterior por el vector rotación y dividiendo entre dos (ya que A está fijo).

 

T= 2/3 m (b2+c2)W2 

 


Dudas: J.M. Díaz de la Cruz Cano