Ejercicios de rozamiento

 

  1. rozamiento al deslizamiento

  2. resistencia al deslizamiento y a la rodadura


I.- Rozamiento al deslizamiento


1.- Una rueda circular de masa m y radio R se apoya sobre un plano inclinado 45º respecto al plano horizontal. El coeficiente de rozamiento entre la rueda y el plano es de m = 0.5.  Hallar la aceleración ac con la que cae el centro de masas, la aceleración angular a del círculo y la derivada respecto al tiempo de la velocidad de deslizamento entre el círculo y el plano. 


Se trata de un problema de dinámica del sólido rígido con movimiento plano. Por lo tanto, el problema se resolverá mediante la aplicación de las ecuaciones que se derivan de la aplicación de los teoremas de la cantidad de movimiento y del momento cinético áxico, según se ha visto en la teoría de la dinámica del sólido rígido con movimiento plano

m ax=Fx + Rx
m ay=Fy + Ry
Icz a = Mz+Nz

en las que x,y representan un par de ejes perpendiculares sobre el plano; Fx,Fy las componentes de la resultante de las fuerzas aplicadas; Rx,Ry las componentes de la resultante de las fuerzas de reacción (Ry es la componente normal y  Rx  es la fuerza de rozamiento); Icz el momento de inercia respecto al eje perpendicular al plano desde C; Mz el momento áxico de las fuerzas aplicadas y Nz el de las fuerzas de reacción. 

En este caso, tomando un sistema de ejes como se indica en la figura, se tiene, inmediatamente

Fx = m g sen 45º 
Fy = - m g cos 45º 
ay= 0
Mz= 0

de donde es inmediato que Ry= m g cos 45º es decir, la componente normal de la reacción del plano sobre la rueda es m g cos 45º . Teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento entre la rueda y el plano es 0.5, puede decirse que la fuerza de rozamiento, es decir, Fx , es

a) 0.5 m g cos 45º 

b) menor o igual que 0.5 m g cos 45º .

c) m g sen 45º

Ahora, como en todos los problemas en los que existe un rozamiento al deslizamiento, se pueden tener tres opciones, cada una de ellas con una ecuación y una cláusula de salvaguardia, que, si se cumple, confirma la opción elegida: Nótese que la ecuación es necesaria para completar el sistema y poder despejar las incógnitas. La selección de la hipótesis y su consiguiente ecuación determina, junto a las ecuaciones anteriores, todas las incógnitas y permite comprobar si se verifica la cláusula de salvaguardia.

 

hipótesis ecuación cláusula
no hay deslizamiento vd= 0 => ad=0 -m Ry <= Rx <= m Ry
hay deslizamiento hacia x+ Rx = -m Ry vd>0 => ad>0
hay deslizamiento hacia x- Rx = +m Ry vd<0 => ad<0

donde vd es la velocidad de deslizamiento y ad su derivada respecto al tiempo.

Si se parte de la hipótesis de no deslizamiento, entonces se tiene el sistema de ecuaciones

m ax= mg sen 45º+ Rx
ax + R a = 0
Icz a = R Rx

que resuelto y junto al valor de Ry completa la tabla

ax= 2/3 g sen 45º
a = -2/3 (g /R) sen 45º
Ry= m g cos 45º
Rx=1/3 mg sen 45º

Al aplicar la cláusula de salvaguardia se tiene

Rx=1/3 mg sen 45º <= 0.5 Ry= 0.5 m g cos 45º 

que se satisface claramente, con lo que la hipótesis inicial es la correcta (no desliza) y las incógnitas valen

ax= 2/3 g sen 45º
a = -2/3 (g /R) sen 45º
Ry= m g cos 45º
Rx=1/3 mg sen 45º

II.- Resistencia al deslizamiento y a la rodadura

2.- Un círculo de radio R y masa m se apoya sobre un plano inclinado un ángulo a respecto al horizontal, según muestra la figura. Entre el círculo y el plano existe un coeficiente de rozamiento m y un coeficiente de resistencia a la rodadura d. Se elije un sistema de coordenadas x,y,z según muestra la figura, de forma que, dado que el eje z es entrante en el papel, se tomarán positivas las rotaciones en sentido horario. 

Se tomarán positivos los valores de la componente según x de la fuerza de rozamiento Fx si ésta es opuesta a i; se tomarán positivos los valores de la componente según z del momento de resistencia a la rodadura Mr si dicho momento es opuesto a k

Se pide:

  1. Exprese la cantidad de movimiento del sistema en función de las componentes de la velocidad del centro de masas.
  2. Aplique el teorema de la cantidad de movimiento.
  3. Exprese el momento cinético respecto al centro de masas en función de la rotación del círculo.
  4. Aplique el teorema del momento cinético.
  5. Obtenga la derivada respecto al tiempo de la velocidad de deslizamiento (vP) en función de la fuerza de rozamiento y el momento de resistencia a la rodadura.
  6. Obtenga las condiciones que deben satisfacer (m, d) para que el círculo no comience a caer.
  7. Obtenga las condiciones que deben satisfacer (m, d) para que el círculo  comience a caer rodando sin deslizar.
  8. Obtenga las condiciones que deben satisfacer (m, d) para que el círculo  comience a caer deslizando sin rodar.
  9. Obtenga las condiciones que deben satisfacer (m, d) para que el círculo  comience a caer rodando y deslizando.
  10. Resuma los resultados anteriores en forma de gráfico.

  1. Por el teorema del centro de masas, la cantidad de movimiento de un sistema es igual al producto de la masa por la velocidad del centro de masa. Por consiguiente,
    Q = m vc = m vx i
  2. El teorema de la cantidad de movimiento establece que la derivada con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el sistema. En este caso las fuerzas son

     

    con lo que

    m ax i
    =
    P + N + Fr
    ax
    =
    g sena- Fr
    m
    N
    =
    m g cosa
  3. El momento cinético respecto a C es

    Lc = Ic w
    por lo tanto,
    Lc = 1
    2
    m R2 wk
  4. Según el teorema del momento cinético respecto al centro de masas la derivada temporal de éste es igual al momento respecto a C de las fuerzas que actúan sobre el sólido. De éstas, ni el peso ni la reacción normal contribuyen, por lo que:

    ..
    j
     
    = 2
    m R2
    ( R Fr - Mr )
  5. La velocidad de deslizamiento vp es la que corresponde al punto P. Por lo tanto

    vd = vx - R w
    y obedecerá a la ecuación diferencial
    .
    vp
     
    = g sena- 3 Fr
    m
    + 2 Mr
    mR
  6. Para que el cículo se mantenga en reposo

    ax = 0 Ù ..
    j
     
    = 0
     lo que proporciona los valores
    Fr = mg sena Ù Mr = m g R sena
    lo que sólo se puede permitir con valores de los coeficientes de rozamiento:
    ì
    í
    î
    m ³ tana
    d ³ R tana
  7. Si rueda, la resistencia a la rodadura debe tomar su máximo valor, es decir

    Mr = dm g R cosa
    Por otra parte, si no hay deslizamiento, entonces
    .
    vp
     
    = 0
    . Por lo tanto
    Fr
    =
    1
    3
    mg sen a+ 2
    3
    m g d
    R
    cosa
    Mr
    =
    m g dcosa
    y los coeficientes de rozamiento deben verificar
    ì
    ï
    ï
    í
    ï
    ï
    î
    m ³ tana
    3
    + 2 d
    3 R
    d £ R tana
  8. Si desliza, la fuerza de rozamiento está al máximo. Por lo tanto

    Fr = mm g cosa
    Además, si no rueda,
    ..
    j
     
    = 0
    . En estas condiciones:
    Fr
    =
    mm g cosa
    Mr
    =
    mm g R cosa
    y los coeficientes de rozamiento deben verificar
    ì
    í
    î
    m < tana
    d ³ mR
  9. Si rueda y desliza, según los apartados anteriores, 

    Fr = mm g cosa Ù Mr = dm g cosa

    con lo que

    ì
    ï
    ï
    í
    ï
    ï
    î
    m < tana
    3
    + 2 d
    3 R
    d < mR
  10. Compilando los resultados anteriores se pueden representar en el plano (m, d/R) las zonas que determinan cada uno de los cuatro movimientos anteriores.

 

       
no rueda

no desliza

rueda

no desliza

no rueda

desliza

rueda

desliza

 


Dudas: José Mª Díaz de la Cruz Cano