Energía cinética

La última magnitud mecánica fundamental que se estudia es la energía cinética. Para sistemas continuos, la energía cinética es

Ec =

ó
õ

 (

1


2

nor(v) )  dm

con la notación establecida en la sección anterior y tomando un punto cualquiera O paraexpresar el campo de velocidades, tal que OP = r ,  v = vo +w ×r , se tiene

Ec =

1


2

 

ó
õ

 nor( vo + w ×r)  dm =

 

= Ec =

1


2

 

ó
õ

 (nor( vo) + 2 vo ·(w×r) + nor( w ×r)  dm =

 

=

1


2

nor( vo

ó
õ

dm + 2 vo ·(w ×

ó
õ

 r  dm) +

ó
õ

 nor( w ×r)  dm =

 

=

1


2

m nor( vo + 2 m vo ·(w ×rc) +

ó
õ

 nor( w ×r)  dm =

desarrollando en una base cartesiana { O,x,y,z }

 

r = x i + y j + z k

w = wx i +wy j +wz k

 

si se expresa

nor(w ×r) = nor(w) nor(r) - (w ·r)2

queda

Ec =

1


2

m nor( vo + 2 m vo ·(w×rc) +

1


2

 

ó
õ

 nor(w) nor(r¢) - (w·r¢)2  dm )

 

Ec =

1


2

m nor( vo + 2 m vo ·(w ×rc) +

1


2

 

ó
õ

 

 

(wx2 + wy2 + wz2) (x2 + y2 + z2) -

 

- (x wx + y wy + z wz)2  dm )

 

Ec =

1


2

m nor( vo + 2 m vo ·(w ×rc) +

 

+

1


2

( (

ó
õ

 (y2 + z2)  dm) wx2 + (

ó
õ

 (z2 + x2)  dm)wy2 + (

ó
õ

 (x2 + y2)  dm) wz2)

 

- (

ó
õ

 xy  dm ) wx wy - (

ó
õ

 zx  dm ) wz wx - (

ó
õ

 yz dm ) wy wz

que puede escribirse, con la ayuda del tensor de inercia de O

Ec =

1


2

m nor( vo) + 2 m vo ·(w ×rc) +

1


2

w ·Io ·w

(9)

si se toma O º C entonces rc = 0 y se tiene

Ec =

1


2

m nor(vc) +

1


2

w ·Ic·w

(10)

lo que se refleja en el siguiente

Segundo teorema de Könnig

la energía cinética respecto a un sistema de un sólido rígido es la suma de la que tendría un punto material que tuviera la masa del sólido y se moviese sobre el centro de masas, más la que tiene el sólido respecto a un sistema en movimiento de traslación respecto al anterior y que tenga al centro de masas como un punto fijo.

Otra importante consecuencia de la ecuación  9 es la : 

expresión para el cálculo de la energía cinética de un sólido con un punto (o un eje) fijo. En este caso vo = 0 con lo que:

Ec =

1


2

w ·Io ·w

(11)