Movimiento de tres sistemas con un punto fijo

Sean k1,k2,k3 tres sistemas indeformables con un punto fijo común O, que evolucionan definiendo los movimientos esféricos relativos: k2/k1,k1/k2, k3/k1, k3/k2, k2/k3 Como ya se ha demostrado, la posición geométrica de los ejes instantáneos de los movimientos ki/kj,kj/ki es la misma, con lo que se tiene tres posiciones geométricas únicamente.

Se procede a calcular la velocidad respecto a p1 de un punto del eje instantáneo de rotación del movimiento de k3/k2. Por una parte, al tratarse de un punto del sistema k3 se tiene

v = w31×OI23
por otra parte, se puede calcular su velocidad a partir de los campos de velocidades de k2/k1,k3/k2 utilizando las fórmulas de la cinemática relativa.
v = w21×OI32 + va(k3,k2,I32)
donde el último sumando es nulo por ser la velocidad de los puntos del eje instantáneo de rotación del movimiento k3/k2 respecto a k2. Queda, por lo tanto, que
w21×OI32 = w31×OI23
es decir, la velocidad de un punto cualquiera del eir32 de un movimiento esférico respectoa cualquier otro sistema puede calcularse como si perteneciera al sistema k3 o al sistema k2 .

Además, la composición de rotaciones indica que todos los ejes son coplanarios, lo que permite enunciar el teorema de los tres ejes

Los ejes instanténeos de rotación de los movimientos relativos de tres sistemas que evolucionan con el mismo punto fijo son coplanarios.