Posición de un sólido con un punto fijo: ángulos de Euler

Cuando un sólido experimenta un movimiento plano, sólo se necesitan tres parámetros para determinar su posición. Cuando el sólido gira en torno a un eje fijo, sólo es necesario un`parámetro para determinarla. Cuando se conoce la posición de un punto fijo del sólido, entonces sólo se necesitan tres parámetros para determinar su posición. Es inmediato reducir el problema de la determinación de la posición de un sólido con un punto fijo al de la determinación de la posición de una referencia tridimensional vinculada al sólido, pues conocida ésta, los puntos del sólido se ubican mediante sus coordenadas que son constantes. Se trata de determinar los tres vectores de una base ortonormal considerada móvil respecto a una referencia fija. En principio se tienen nueve parámetros (las componentes de los tres vectores móviles en la base fija), pero las condiciones debidas a la ortonormalidad de la base imponen seis restricciones más, a saber, que los tres vectores han de ser unitarios y que deben ser perpendiculares entre sí. Quedan, pues, tres únicos parámetros para determinar la posición de la base móvil respecto a la fija. Estos tres parámetros pueden elegirse de entre una gran variedad de ellos, pero los más frecuentes son los ángulos de Euler, que se procede a definir.

Sea una base fija ortonormal {i1,j1,k1} y una móvil {i,j,k}. Se definen los siguintes elementos:

Los ángulos de Euler (j,q,y) están definidos para todas las configuraciones, excepto para el caso en que los ejes z1,z sean paralelos. Si este estado se mantiene durante intervalos extensos de tiempo, el sólido experimenta realmente un movimiento con un eje fijo, y sólo se necesita un parámetro para posicionarlo. Si el paralelismo es un hecho puntual, pueden definirse los ángulos de Euler por continuidad temporal.

Se va a proceder a continuación a construir la posición de la base móvil a partir de la fija y los tres ángulos de Euler, suponiendo que no se dan las condiciones de degeneración aludidas en el párrafo anterior. Este proceso se realizará mediante tres rotaciones sucesivas que irán transformando la terna {i1,j1,k1} en la {n,u1,k1}, {n,u,k} y la {i,j,k}.

  1. giro j en torno a k1: en este giro se obtiene la terna {n,u1,k1} a partir de la fija,como muestra la figura

    ce1.png
    según las ecuaciones
    ì
    í
    î
    n
    =
    cosji1 + sinjj1
    u1
    =
    -sinji1 + cosjj1
    (1)
    o sus inversas
    ì
    í
    î
    i1
    =
    cosjn - sinju1
    j1
    =
    sinjn + cosju1
    (2)
  2. giro q en torno a n: en este giro se obtiene la terna {n,u,k} a partir de la {n,u1,k1}, como muestra la figura

    ce2.png
    según las ecuaciones
    ì
    í
    î
    u
    =
    cosqu1 + sinqk1
    k
    =
    -sinqu1 + cosqk1
    (3)
    o sus inversas
    ì
    í
    î
    u1
    =
    cosqu - sinqk
    k1
    =
    sinqu + cosqk
    (4)
  3. giro y en torno a z: en este giro se obtiene la terna {i,j,k} a partir de la {n,u,k}, como muestra la figura

    ce3.png
    según las ecuaciones
    ì
    í
    î
    i
    =
    cosyn + sinyu
    j
    =
    -sinyn + cosyu
    (5)
    o sus inversas
    ì
    í
    î
    n
    =
    cosyi - sinyj
    u
    =
    sinyi + cosyj
    (6)

Las ecuaciones 1,3,5 permiten obtener los vctores de las nuevas ternas a partir de las antiguas encadenando, si es necesario, todas las expresiones. Así, por ejemplo, el vector k puede obtenerse en la base fija a partir de 3

k = -sinqu1 + cosqk1
e insertando 1
k = -sinq(-sinji1 + cosjj1) + cosqk1
k = sinqsinji1 - sinqcosjj1 + cosqk1
(7)
Igualmente, las ecuaciones2,4,6 permiten obtener los vectores de las antiguas ternas a partir de las nuevas encadenando, si es necesario, todas las expresiones. Así, por ejemplo, el vector k1, de 4
k1 = sinqu + cosqk
y sustituyendo gracias a 6, se tiene
k1 = sinq(sinyi + cosyj) + cosqk
k1 = sinqsinyi + sinqcosyj + cosqk
(8)

 



En el applet superior puede determinar los ángulos de Euler de la base azul respecto a la negra. Puede fijar también las rotaciones de Euler y observar la evolución de la terna móvil .


 

Rotaciones de Euler

Una vez determinada la posición del sólido con punto fijo mediante los ángulos de Euler, se va a expresar su rotación en función de estos ángulos. La rotaciones relativas de las bases intermedias son inmediatas:

wnu1k1/i1j1k1 = .
j
 
k1
wnuk/nu1k1 = .
q
 
n
wijk/nuk = .
y
 
k
con lo que la rotación del sólido es
w = wijk/nuk+wnuk/nu1k1wnu1k1/i1j1k1
w = .
j
 
k1+ .
q
 
n + .
y
 
k
(9)
La base {n ,k1, k} se denomina base de Euler y las componentes de la rotación del sólido en dicha base, reciben el nombre de rotaciones de Euler, resultando que son las derivadas de los ángulos de Euler respecto al tiempo.

Las rotaciones de Euler  reciben los nombres de nutación, precesión y rotación propia .

En algunas ocasiones es necesario utilizar las componentes de rotación en la base móvil, lo que es inmediato teniendo en cuenta que (8)

k1 = sinqsinyi + sinqcosyj + cosqk
y que (6)
n = cosyi - sinyj
ya que 9 queda
w = .
j
 
(sinqsinyi + sinqcosyj + cosqk)+ .
q
 
(cosyi - sinyj) + .
y
 
k
con las componentes
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
wx
=
.
j
 
sinqsiny+ .
q
 
cosy
wy
=
.
j
 
sinqcosy- .
q
 
siny
wz
=
.
y
 
+ .
j
 
cosq
(10)
De la misma forma, se pueden obtener las componentes en la base fija
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
wx1
=
.
y
 
sinqsinj+ .
q
 
cosj
wy1
=
- .
y
 
sinqcosj+ .
q
 
sinj
wz1
=
.
y
 
cosq+ .
j
 
(11)

 


Autor: José María Díaz de la Cruz