Dinámica del sólido rígido

  1. Dinámica

  2. Cantidad de movimiento

  3. Momento cinético

  4. EnergÝa cinÚtica

  5. Ligaduras en un sólido rígido

1  Dinámica

La dinámica del sólido rígido estudia el movimiento que adquiere un sólido cuando sobre él actúa un sistema de fuerzas dado. Es decir, la dinámica establece las relaciones entre la cinemática de un sistema y el sistema de fuerzas que actúa sobre el mismo. Esta relación está determinada por la geometría de masas del sólido, la cual, mediante las ecuaciones estudiadas en la sección anterior, determina la relación entre sus magnitudes dinámicas fundamentales y su cinemática. Estas relaciones se representan en el siguiente esquema: Un sólido rígido puede considerarse como un conjunto de puntos materiales unidos por ligaduras rígidas. Para aplicar las ecuaciones de la dinámica del punto a l sólido es necesario conocer el carácter de las fuerzas que mantienen esta ligadura, ya que, en caso contrario, sería imposible plantear las ecuaciones. En Mecánica se admite la siguiente hipótesis1:

La fuerza que ejerce un punto Pi sobre un punto Pj de un sólido rígido es colineal con el vector PiPj.

Por lo tanto, al unir la hipótesis anterior con el principio de acción y reacción, se deduce que las fuerzas interiores de un sólido están constituidas por parejas de vectores de igual módulo y dirección y sentidos opuestos situados sobre la misma línea de acción. Es decir, el sistema de fuerzas interiores, considerado como un sistema de vectores deslizantes, es un sistema nulo.

La ecuación fundamental de la Dinámica F = m a era suficiente para describir el comportamiento de un punto material. En efecto, éste posee, en general, tres grados de libertad lo cual se traduce en la existencia de tres incógnitas cuya evolución se necesita determinar para conocer el movimiento. En los casos de punto material ligado, el número de parámetros que era necesario conocer para determinar el movimiento se reducía en el mismo número en que aumentaban unas nuevas incógnitas que a su vez definían las fuerzas de reacción. Es decir, la segunda ley de Newton era toda la dinámica necesaria para el punto material junto con la hipótesis sobre las fuerzas interiores anteriormente explicitada.

Un sólido rígido tiene, en general, seis grados de libertad. Por ello la situación es un poco más complicada. Cabe adelantar que la hipótesis anterior complementa la segunda ley de Newton para proporcionar las ecuaciones que determinan el comportamiento dinámico de un sólido. Estas son, además de la segunda ley de Newton, las tres ecuaciones de Euler, que , en un número total de seis, determinarán la evolución del movimiento de seis grados de libertad del sólido rígido.

En lo que sigue, mientras no se explicite lo contrario, se supondrá que las magnitudes cinéticas y cinemáticas lo son referidas a un sistema inercial. Un sistema no inercial especial es el sistema centro de masas. Si bien, como ya se sabe, las leyes fundamentales de la mecánica en general no se cumplen 2 en sistemas no inerciales, algunas de ellas toman una forma especialmente sencilla y por lo tanto útil en este sistema. Por ello se incluye la siguiente definición:

Sistema centro de masas de un sólido rígido es el sistema cuya rotación es permanentemente nula y se traslada con la velocidad del centro de masas de dicho sólido.

A contunuación se procede a la presentación de las ecuaciones fundamentales de la Dinámica del sólido rígido, deducidas de las ecuaciones de la Dinámica del punto material.

2   Cantidad de movimiento

Según se ha visto para un punto material P de masa m que se mueve respecto a un sistema inercial s bajo la acción de la fuerza f, la segunda ley de Newton expresa:

m a = f
si se supone el sólido constituido por un conjunto discreto3 puntos materiales Pi de masa mi, llamando pi a la cantidad de movimiento de Pi, fi a la fuerza externa que actúa sobre Pi y fij a la fuerza que Pj realiza sobre Pi, se tiene
.
pi
 
= fi + n
ň
j = 1,j i 
fij

sumando para todos los puntos Pi

n
ň
i = 1 
.
pi
 
= n
ň
i = 1 
fi + n
ň
i = 1 
  n
ň
j = 1,j i 
fij

el doble sumatorio se anula pues las fuerzas interiores del sólido se anulan dos a dos, según se ha visto anteriormente. La suma ňi = 1n fi es la resultante f delas fuerzas exteriores que se ejercen sobre todos los puntos del sólido y ňi = 1n[(pi)\dot] representa la derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento p del sólido. Queda pues

.
p
 
= F
(1)

lo que constituye el

Teorema 1 [de la cantidad de movimiento] La derivada temporal de la cantidad de movimiento de un sólido rígido respecto a un sistema  inercial es igual a la resultante del sistema de fuerzas que actúa sobre el sólido.

Aplicando el teorema del centro de masas, queda

m .
vc
 
= F
(2)

Es decir,

el centro de masas de un sólido rígido se mueve como si se tratase de un punto material sometido a la resultante de todas las fuerzas exteriores.

3  Momento cinético

En la sección anterior se ha obtenido una ecuación vectorial que se traduce en tres ecuaciones escalares, las cuales han de completarse para la determinación del movimiento del sólido, que tiene, en general, seis grados de libertad. Las tres ecuaciones restantes provendrán de la aplicación del teorema del momento cinético. Se tomará un punto cualquiera O, que no tendrá por qué suponerse inmóvil, y se llamará ri al vector OPi. Partiendo del momento cinético respecto a O:

Li = OPi ×pi
derivando

d Li
dt
= d OPi
dt
×pi +OPi × d pi
dt
d Li
dt
= (vi - vo) ×pi +OPi × d pi
dt
con las convenciones del apartado anterior
d Li
dt
= vi ×pi - vo ×pi+OPi ×(fi + n
ň
j = 1,j i 
fij )
sumando para todos los puntos
d Lo
dt
= n
ň
i = 1 
vi ×pi - n
ň
i = 1 
vo ×pi + n
ň
i = 1 
OPi ×(fi + n
ň
j = 1,j i 
fij )

d Lo
dt
= n
ň
i = 1 
mi vi ×vi - vo × n
ň
i = 1 
pi + n
ň
i = 1 
OPi ×fi + n
ň
i = 1 
n
ň
j = 1,j i 
fij

el primer y último sumando son nulos. El último representa el momento de todas las fuerzas interiores del sólido, las cuales, como ya se ha visto, se agrupan en parejas de resultante y momento nulos. El tercer sumando representa el momento Mo de las fuerzas exteriores respecto al punto O, con lo que puede escribirse:

d Lo
dt
= - vo ×p + M
si el punto O está quieto la expresión anterior se simplifica
d Lo
dt
= Mo
(4)
la simplificación anterior también puede darse si se toma el momento respecto a un punto que se mueva paralelamente al centro de masas o si es el propio centro de masas:
d Lc
dt
= Mc
(5)
Como ya se ha visto en el capítulo anterior, el momento cinético respecto al centro de masas de un sólido es el mismo respecto a todos los sistemas que tengan entre sí un movimiento de traslación. En particular el momento cinético respecto a C es el mismo respecto a un sistema de referencia inercial que respecto al sistema centro de masas el cual, como se ha visto, no es inercial. Además, la derivada de un vector respecto a dos sistemas en traslación relativa también es la misma, por lo que puede describirse la dinámica respecto al sistema centro de masas de la siguiente forma:

La dinámica del sólido rígido respecto al sistema centro de masas corresponde al movimiento de un sólido sometido a un sistema de fuerzas de resultante nula y momento respecto al centro de masas igual al momento del conjunto de fuerzas reales que actúan sobre el sólido

desde otro punto de vista, la descripción anterior puede reescribirse analizando el sistema de fuerzas de inercia. Las fuerzas de inercia del sólido que corresponden al sistema centro de masas tiene las siguientes características:

En las expresiones obtenidas hasta aquí se ha supuesto que las magnitudes cinética están definidas respecto a un sistema de referencia inercial que se considera fijo. Además, las derivadas de las magnitudes vectoriales se suponen también definidas respecto al sistema anterior. En algunas ocasiones puede ser conveniente utilizar la derivada del momento cinético respecto al sistema sólido rígido . Superindicaremos con un asterisco *las derivadas referidas al sólido rígido. Se sabe que

d
dt
= d*
dt
+ w ×
Por lo tanto
dLo
dt
= d*Lo
dt
+ w ×Lo = - vo ×p + Mo
de donde

d*Lo
dt
= - vo ×p - w ×Lo + Mo
En el caso en que O C
d*Lc
dt
= - w ×Lc + Mc

A veces es conveniente trabajar con el momento cinético respecto a un sistema en translación respecto a un sistema inercial que se mueva acompañando al punto O. En este caso

Lo1 = n
ň
i = 1 
mi OPi ×(v:i - vo) = Lo - mrc ×vo
derivando
d Lo1
dt
= d Lo
dt
- m d rc
dt
×vo - m rc × d vo
dt
dLo1
dt
= dLo
dt
-p ×vo - m rc ×ao
sustituyendo la ecuación  3 queda
dLo1
dt
= - m rc ×ao + Mo
(6)
y en particular, tomando el sistema centro de masas se tiene
dLc
dt
= Mc
(7)

Esta propiedad, que ya se ha visto anteriormente, indica que el teorema del momento cinético se cumple en el sistema centro de masas, a pesar de no ser inercial, cuando se toma respecto al propio centro de masas. La ecuación  6 permite ampliar la aplicación de la propiedad anterior a cualquier sistema en traslación con una aceleración paralela al vector OC.

Sea cual sea la variante elegida de la ecuación del momento cinético, ésta proporciona un conjunto de tres ecuaciones escalares que completan el sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas que caracteriza la dinámica del sólido rígido.

Una vez generadas las ecuaciones de la dinámica, se procede a su expresión en función de los parámetros que posicionen el sólido respecto a un sistema fijo.

Se eligen como parámetros de posición del sólido rígido las tres coordenadas de su centro de masas respecto a una base fija OC = xi1 + hj1 + zk1 y los ángulos de Euler j, q, yde unaterna ortonormal de direcciones principales de inercia del sólido { i,j, k } respecto a la terna fija { i1, j1,k1 }Aplicando el teorema del momento cinético, se tienen las ecuaciones

ý
´
´
´
´
Ý
´
´
´
´
ţ
m ..
x
 
= Fx1
m ..
h
 
= Fy1
m ..
z
 
= Fz1
(8)
Al aplicar el teorema del momento cinético respecto al centro de masas, se tiene
dLc
dt
|c = d Lc
dt
|* + w ×Lc
teniendo en cuenta que
Lc = Ic ·w = Š
š
š
š
Ŕ
Ixc
0
0
0
Iyc
0
0
0
Izc
÷
¸
¸
¸
°
Š
š
š
š
Ŕ
wx
wy
wz
÷
¸
¸
¸
°
= Ixc wx i + Iyc wy j + Izc wz k
se tiene el sistema de tres ecuaciones
ý
´
´
´
´
Ý
´
´
´
´
ţ
Ixc .
wx
 
+ (Izc - Iyc) wy wz
=
Mcx
Iyc .
wy
 
+ (Ixc - Izc) wz wx
=
Mcy
Izc .
wz
 
+ (Iyc - Ixc) wx wy
=
Mcz
(9)
que junto con

ý
´
´
´
´
Ý
´
´
´
´
ţ
wx
=
.
j
 
sinqsiny+ .
q
 
cosy
wy
=
.
j
 
sinqcosy- .
q
 
siny
wz
=
.
j
 
cosq+ .
y
 
(10)
determinan un sistema de tres ecuaciones en j, q, y que completan el sistema, que rige el movimiento de cualquier sólido rígido.

Según se ha visto en las ecuaciones anteriores, dos sistemas de fuerzas actuantes que compartan resultante y momento, es decir que, tomados como sistemas de vectores deslizantes, sean equivalentes, producen el mismo movimiento del sólido. En la Cinemática de los sistemas indeformables también se ha visto que el movimiento de éstos puede describirse también mediante un sistema de vectores deslizantes los cuales, tomando un punto cualquiera, que elegimos en C, se definen mediante su resultante w y momento vc. Las ecuaciones 8 y 9 pueden contemplarse como un conjunto de ecuaciones que relacionan el momento del sistema cinemático del sólido con la resultante del sistema de fuerzas (8) y recíprocamente, la resultante del sistema cinemático con el momento del sistema de fuerzas (9).

4. EnergÝa cinÚtica

El teorema de la energÝa cinÚtica, aplicado a un sˇlido rÝgido sometido a un conjunto de n fuerzas se expresa

d Ec
dt
= n
ň
i = 1 
Fi ·vi
El primer tÚrmino se puede expresar mediante el segundo teorema de K÷nnig
Ec = 1
2
m vc2 + 1
2
w·IC ·w
y el segundo miembro puede desarrollarse, suponiendo que el punto O es un punto del sˇlido
n
ň
i = 1 
Fi ·vi = n
ň
i = 1 
Fi·(vO + w×CPi)
n
ň
i = 1 
Fi ·vi = n
ň
i = 1 
Fi·vc + n
ň
i = 1 
(Fi , w , OPi)
n
ň
i = 1 
Fi ·vi = n
ň
i = 1 
Fi·vc + n
ň
i = 1 
( OPi×Fiw
que se puede desarrollar en
n
ň
i = 1 
Fi ·vi = F ·vO + MO ·w
con lo que

d Ec
dt
= F ·vO + MO ·w

nˇtese que el las fuerzas interiores del sˇlido estß  anulado por parejas, por lo que las ˙nicas fuerzas que deben tenerse en cuenta en esta fˇrmula son las exteriores.

5  Ligaduras en un sólido rígido

La dinámica de un sólido rígido está perfectamente determinada por el sistema de seis ecuaciones que se han deducido en las secciones anteriores. En estas ecuaciones en principio puede suponerse que las incógnitas son los parámetros que posicionan el sólido rígido y los datos son la geometría de masas y elsistema de fuerzas que actúa sobre el sólido rígido. Sin embargo hay situaciones en las cuales el movimiento del sólido está restringido. Por ejemplo, puede ser que se fijeun eje, que no se le permita rebasar un plano, que se obligue a uno de sus puntos a seguiruna trayectoria dada, etc. Se dice que el sólido rígido está it ligado. Las restricciones del movimiento deben ser impuestas por un sistema defuerzas, llamadas it fuerzas de ligadura, que son las encargadas de obligar al sólido a cumplir con las restricciones impuestas. Las fuerzas de ligadura, a priori, tienen un valor desconocido y por lo tanto aportan nuevas incógnitas al problema dinámico.

Un sólido ligado, al tener su evolución restringida, necesita menos parámetros que determinen su movimiento. En efecto, la ligadura se traducirá en un conjunto de relaciones fi(x,h, z, j, q,y) = 0 que permitirán reducir el número de incógnitas4 de las ecuaciones anteriores. La reducción del número de incógnitas del movimiento puede compensar la introducción de las nuevas debidas a la ligadura, o puede ser que surja un desfase entre elnúmero de ecuaciones y de incógnitas. En el primer caso se tiene un sistema isosático. En el segundo se tiene un sistema hipostático si el número de ecuaciones es inferior al de incógnitas, o hiperestático en caso contrario. En este texto se tratarán sobre todo los casos de sistemas isostáticos. Los sistemas hiperestáticos necesitan de un conjunto suplementario de ecuaciones que provienen del estudio de la elasticidad de materiales que es objeto de un tratamiento posterior.

El sistema de fuerzas de ligadura, según se ha dicho, es desconocido en el momento de plantear un problema, sin embargo, en muchas ocasiones debe satisfacer algunas restricciones conocidas apriori. En efecto, cuando se fuerza al sólido a tener un punto fijo, el sistema de fuerzas de ligadura puede reducirse a una resultante única que pase por el punto fijo. Si se obliga a un punto del sólido a moverse sin rozamiento sobre una recta, entonces la resultante debe ser perpendicular a la recta, etc.

A continuación se presentan algunas ligaduras a las que suele estar sujeto un sólido y las características del sistema de fuerzas que determinan. Se presupone la ausencia de rozamiento, que será tratado de forma especial posteriormente.

5.1  Cojinetes

Cuando se quiere hacer que un sólido rígido gire en torno a un eje fijo, éste se fija por medio de cojinetes. Estos pueden ser de dos tipos: axiales y radiales. Los cojinetes consisten en un anillo exterior que abraza el eje del sólido. Entre el anillo y el eje hay una corona de peque˝as esferas las cuales separan la parte fija del cojinete del eje de giro. El movimiento de estas esferitas respecto a la parte fija está limitado a una corona circular. Si el eje no está entallado, se tiene un cojinete radial; el cojinete permite cualquier movimiento del eje que mantenga éste pasando por el punto O.

Si bien es cierto que una desviación excesiva respecto al eje del cojinete haría que éste chocara en general el funcionamiento del sistema impedirá esta posibilidad. Si se analiza el movimiento impedido por el cojinete, éste se reduce al movimiento del punto del eje que abraza perpendicularmente a su dirección. El sistema de fuerzas de ligadura no restringe el giro del eje alrededor del punto O y, por lo tanto, no proporciona momento respecto a O. Por otra parte, tampoco impide el deslizamiento de O paralelamente al eje, por lo que la ligadura tiene resultante según el eje, es decir, se puede resumir la acción del cojinete radial con las ecuaciones

ý
Ý
ţ
Mo
=
0
Rz
=
0
con lo que la ligadura introduce dos nuevas incógnitas Fx,Fy. Las restricciones cinemáticas
ý
Ý
ţ
vox
=
0
voy
=
0
ofrecen dos nuevas ecuaciones. Si el eje del sólido tiene una peque¤a entalladura  entonces el movimiento de deslizamiento queda imposibilitado, con lo que la reacción ofrece una componente Rz nueva y una nueva restricción cinemática vz = 0. Este cojinete recibe el nombre de cojinete de empuje.

Una combinaciˇn de cojinetes que asegure que el ˙nico movimiento posible del sˇlido rÝgido sea una rotaciˇn en torno al eje de los cojinetes se denomina articulaciˇn. Seg˙n la movilidad de una articulaciˇn se pueden construir diferentes tipos de ligadura sobre un sˇlido, de las que las mßs importantes son 

  1. apoyo articulado fijo: cuando la articulaciˇn se fija de forma que su eje tenga una posiciˇn predeterminada. En este caso el ˙nico movimiento permitido al sˇlido es una rotaciˇn en torno al eje de la articulaciˇn. El sistema de fuerzas de ligadura se reduce a una resultante que puede tener cualquier mˇdulo direcciˇn y sentido y un momento respecto a cualquier punto del eje que debe ser perpendicular al eje de la articulaciˇn. 
  2. apoyo articulado fijo: cuando el eje de la articulaciˇn puede moverse sobre un plano paralelo al eje normalmente a dicho eje. En este caso el ˙nico movimiento permitido al sˇlido es una rotaciˇn libre en torno al eje y una translaciˇn de los elementos del eje normal al eje y paralela al plano. El sistema de fuerzas de ligadura se reduce a una resultante normal al plano y un momento perpendicular al eje.. 

Un tipo de ligadura muy habitual es el empotramiento. En Úste se sujeta al sˇlido por el punto de empotramiento y se impide cualquier movimiento del mismo. El sistema de fuerzas de ligadura es un sistema de vectores deslizantes sin ninguna restricciˇn.

5.2  Rótula

Una rótula es una ligadura que fija la posición de un punto del sólido rígido pero que permite cualquier orientación del mismo. Puede materializarse de distintas formas. Una de ellas consiste en una cavidad esférica abierta fija que aloje un apéndice también esférico del sólido rígido. El sistema de fuerzas de ligadura, al no impedir el movimiento de giro en torno a O no da ningún momento, por lo que se puede reducir a una fuerza única quepasapor el punto fijo.

ý
Ý
ţ
Mo
=
0
R
=
Rz i + Ry j + Rz k
donde Rx , Ry , Rz son tres nuevas incógnitas introducidas por la ligadura. A su vez, se introducen las correspondientes restricciones del movimiento:
ý
´
Ý
´
ţ
vox
=
0
voy
=
0
voz
=
0

Un sistema de ligadura equivalente a la rótula es la suspensión Cardan (4) que consiste en permitir al sólido un movimiento compuesto formado por tres rotaciones sucesivas (una en torno al eje vertical de la figura, la segunda en torno al eje AA' y la tercera en torno al BB') concurrentes en el punto O fijo.

5.3  Contacto entre dos superficies

Cuando dos sólidos están en contacto en un punto P, la acción de uno sobre otro se descompone en fuerzas y momentos característicos, que se van a analizar en esta sección.

Sean t1 , t2 dos sólidos cuyos contornos son las superficies S1 ,S2. Sea P el punto común a ambas superficies en el que, además, son tangentes. Para fijar ideas, se supondrá que S1 es fija. Se tomará un sistema de referencia { P, x,y,z } en el que el eje z sea paralelo a la normal común g a las superficies S1,S2 y en el sentido desde S1 a S2. Sea asímismo v la velocidad de arrastre de t2 respecto a t1 en P. La impenetrabilidad de los sólidos impondrá la siguiente condición cinemática

v ·g = vz 0
(11)
pues en caso contrario t1 penetraría en t2.

Para garantizar la condición anterior, el sólido t2 ejerce sobre t1 una fuerza paralela a g, de forma que

R ·g = Rz = N 0
(12)

Si no existe rozamiento, la única incógnita N adicional introducida por la ligadura es compensada por la ecuación ~refcondcin, teniendo en cuenta las siguientes condiciones

ý
Ý
ţ
vz > 0
Ů
N = Rz = 0
vz = 0
Ů
N = Rz 0
(13)
Generalmente, entre las superficies de contacto de los sólidos hay una resistencia al movimiento relativo de las mismas. Esto produce fuerzas de rozamiento que se nombran según el movimiento que tienden a impedir y que son:

Otras ligaduras habituales son las que aparecen en la siguiente tabla:

 

figura

movimiento sistema de fuerzas de ligadura

Un punto puede moverse sobre una curva sin rozamiento

Resultante ˙nica perpendicular a la curva. Su momento respecto al punto es nulo.

Un punto puede moverse sobre una superficie sin rozamiento

Resultante ˙nica perpendicular a la superficie. Su momento respecto al punto es nulo.

El sˇlido tiene un punto fijo

Resultante ˙nica. Su momento respecto al punto es nulo.

 El sˇlido puede girar y deslizar sobre un eje

 Resultante perpendicular al eje. El momento respecto a cualquier punto del eje es perpendicular al mismo.

El sˇlido puede girar y deslizar en torno a un eje

Resultante de cualquier direcciˇn. El momento respecto a cualquier punto del eje es perpendicular al mismo.

El sˇlido puede moverse paralelamente a un plano

Resultante normal al plano y momento respecto a cualquier punto del espacio paralelo al plano.

 


Footnotes:

1 el modelo de sólido perfectamente rí gido no implica la hipótesis que se introduce.Realmente dicho modelo serí a compatible con otras hipótesis alternativas. El estudio delsólido elástico, que constituye un refinamiento del rí gido prescinde de ella y la sustituye con unmodelo más complejo de sólido en el cual deja de ser cierta

2excepto si se consideran fuerzas ficticias (las de inercia) sumadas a las fuerzas reales

3 esta suposición hace más clara la demostración que es transcribible para conjuntos continuos.

4o, si se prefiere, aumentar el número de ecuaciones


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On 16 Feb 2000, 11:10.