Sólido con movimiento plano

 

  1. Introducción
  2. Cinética del movimiento
  3. Dinámica
  4. Equilibrado
  5. Rozamiento
  6. Motores y generadores
  7. Ruedas motrices y ruedas arrastradas
  8. Apoyo de un sólido sobre un plano

1  Introducción

Cuando un sólido rígido evoluciona de forma que describe un movimiento plano, las ecuaciones de la dinámica adoptan una forma especialmente sencilla. A veces la causa de que el movimiento sea plano se debe a una razón de simetría en el sistema que permite descartar la posibilidad de que algún punto del sólido pueda adquirir una velocidad perpendicular al plano. Otras veces el movimiento es plano como consecuencia de un sistema de ligaduras a las que está sometido el sólido. En este caso, puede ser que las ligaduras no sólo aseguren la planitud del movimiento, sino también algunas restricciones adicionales al mismo.

2  Cinética del movimiento

En el movimiento plano, las expresiones de las magnitudes cinéticas fundamentales adopta una forma especial. Se define un sistema de referencia fijo O1, i1,j1, k1, donde k1 sea perpendicular al plano del movimiento, y un sistema solidario al sólido C, i,j, k, con origen en el centro de masas del sólido y tercer eje coincidente con el fijo. Además, se supondrá que el centro de masas del sólido se encuentra en el plano O1, x1, y1, lo que siempre es posible ya que la trayectoria de C será una curva contenida en un plano perpendicular a k. Como parámetros que se eligen para describir la evolución del sólido, se eligen las coordenadas de posición del centro de masas del sólido respecto a la base fija (x, h) y el ángulo azimutal jdel eje x respecto al x1 orientado por z.

3  Dinámica

Para comenzar el estudio dinámico se debe identificar el conjunto de fuerzas que actúan sobre el sólido. Por un lado se encuentran las fuerzas aplicadas, que definen una resultante F y un momento Mc respecto al centro de masas del sólido y un momento Mo respecto al punto O. Por otro lado se encuentran las fuerzas de la ligadura, que, si ésta es lisa, pueden reducirse a una resultante perpendicular al plano del movimiento R = Rz k y un momento respecto a cualquier punto del espacio que es paralelo al plano del movimiento Mc = Mx1 i1 +My1 j1 .

Para obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales en las que no aparezca la contribución de las fuerzas de ligadura, se deberá aplicar el teorema de la cantidad de movimiento proyectado sobre el plano del movimiento y el teorema del momento cinético áxico respecto a un eje perpendicular a dicho plano. En efecto

.
p
 
= m .
vc
 
= m ( ..
x
 
i1 + ..
h
 
j1) = F + R Þ

ì
ï
ï
í
ï
ï
î
m ..
x
 
=
Fx1
m ..
h
 
=
Fy1
(1)

Aplicando el teorema del momento cinético respecto al centro de masas (3.7) queda

d Lc
dt
= Mc + Mc
proyectando sobre k
Icz ..
j
 
= Mcz
(2)
ecuación que junto con las 1 constituyen un sistema de tres ecuaciones pqra las tres incógnitas (x, h, j) del movimiento.

El teorema de la energía cinética, aplicado a un sólido rígido sometido a un conjunto de n fuerzas se expresa

d Ec
dt
= n
å
i = 1 
Fi ·vi
El primer término se puede expresar mediante el segundo teorema de Könnig
Ec = 1
2
m vc2 + 1
2
Iczw2
y el segundo miembro puede desarrollarse, suponiendo que el punto O es un punto del sólido
n
å
i = 1 
Fi ·vi = n
å
i = 1 
Fi·(vO + w×CPi)
n
å
i = 1 
Fi ·vi = n
å
i = 1 
Fi·vc + n
å
i = 1 
(Fi , w , OPi)
n
å
i = 1 
Fi ·vi = n
å
i = 1 
Fi·vc + n
å
i = 1 
( OPi×Fiw
que se puede desarrollar en
n
å
i = 1 
Fi ·vi = F ·vO + MO ·w
con lo que

d Ec
dt
= F ·vO + MO ·w

nótese que el las fuerzas interiores del sólido está  anulado por parejas, por lo que las únicas fuerzas que deben tenerse en cuenta en esta fórmula son las exteriores.

 

3  Equilibrado

En cuanto al sistema de fuerzas de ligadura, puede determinarse utilizanto los teoremas de la cantidad de movimiento y del momento cinético proyectados sobre el eje z y el plano xy respectivamente:

Rz
=
- Fz
Mcx
=
- Mcx - Pczx ..
j
 
+ Pcyz .
j
 
2
 
Mcy
=
- Mcy - Pcyz ..
j
 
- Pczx .
j
 
2
 
Lo que indica que, para que las fuerzas de ligadura equilibren el sistema de fuerzas aplicadas y no dependan de la cinemática del movimiento, (lo que en el sólido con eje fijo equivalía al equilibrado dinámico), es necesario que el plano del movimiento sea paralelo a un plano principal de inercia del sólido, es decir a un plano de simetría del elipsoide de inercia del centro de masas.


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On 7 Mar 2000, 11:06.