Eje instantáneo y axoides

En el caso de movimiento de un sólido rígido con un punto O fijo, el segundo invariante cinemático (el producto escalar de la rotación por la velocidad de cualquier punto) es, obviamente, nulo. La velocidad de un punto cualquiera obedece al campo de velocidades:

vP = w× OP

Siempre que la rotación n sea nula, existe un eje instantáneo de rotación cuyos puntos tienen velocidad nula y que pasa por el punto fijo O. Los axoides fijo y móvil son sendas superficies cónicas con vértice común O que ruedan sin deslizar entre sí a lo largo del eje instantáneo de rotación. Reciben el nombre de conos de Poinsot.

Supuesta conocida la evolución del sólido, es decir, conocidos los ángulos de Euler en función del tiempo j(t),q(t),y(t), la posición del eje instantáneo de rotación viene dado en paramétricas y en la base móvil, según la fórmula 

ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
x1
=
l( .
y
 
sinqsinj+ .
q
 
cosj)
y1
=
l(- .
y
 
sinqcosj+ .
q
 
sinj)
z1
=
l( .
y
 
cosq+ .
j
 
)
ecuación paramétrica (parámetros l,t) del cono de Poinsot fijo o ecuación paramétrica (parámetro l) en función del tiempo del eje instantáneo de rotación . De igual forma  se tiene en la base móvil
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
x
=
l( .
j
 
sinqsiny+ .
q
 
cosy)
y
=
l( .
j
 
sinqcosy- .
q
 
siny)
z
=
l( .
y
 
+ .
j
 
cosq)
ecuación paramétrica (parámetros l,t) del cono de Poinsot móvil. o ecuación paramétrica (parámetro l) en función del tiempo del eje instantáneo de rotación.

Igual queen el movimiento plano, se puede definir en el esférico el concepto de conos conjugados. Si

r = lu(m)
es el cono móvil y T(t) la matriz de paso de la base móvil a la fija, entonces
r1 = lT(t)·u(m)
representa la familia de superficies (parámetro t) cuya envolvente determina el cono conjugado fijo.

Al igual que sucede con el movimiento plano, no es necesario conocer las funciones j(t),q(t),y(t) sino sólo la secuencia de posiciones, (p.e.q(j),y(j)), para determinar los conos de Poinsot, así como el cono conjugado de uno dado. Se omite el desarrollo matemático que el lector puede completar de forma similar a lo que se hizo en cinemática plana.