Movimiento plano como caso particular de la cinemática de un sistema indeformable

Un caso particular del movimiento general del sólido rígido es aquél en el que todos los puntos siguen trayectorias paralelas a un plano fijo. La mayor parte de los mecanismos utilizados en la técnica obedecen a la cinemática plana.

En esta sección se deducen las particularidades que un movimiento plano induce en la cinemática de un sistema indeformable. Se parte de la definición y se revisan las propiedades más importantes. Se supone que existe un sistema al que el contexto marca como fijo y al que se refieren los conceptos de velocidades o derivadas temporales de vectores.

Se dice que un sistema indeformable S tiene un movimiento plano en un intervalo temporal (t0,t1) cuando existe un plano fijo p1, llamado plano director tal que las trayectorias que durante el intervalo (t0,t1) describen todos los puntos de S son paralelas al plano p1.

Una primera consecuencia del movimiento plano es que la rotación w es perpendicular al plano director. En efecto,

Si existe un plano fijo p1 direccionado por un vector u y tres puntos no alineados A,B,C del sistema móvil S cuyas velocidades son paralelas a p1 y situados de forma que el plano ABC no sea perpendicular a p1, entonces el sistema tiene movimiento plano y su plano director es p1.

Para la demostración de esta propiedad, se parte de la hipótesis

vA·u = vB·u = vC·u = 0
Por otra parte, el campo de velocidades determina las relaciones
ì
í
î
vB
=
vA + w×AB
vC
=
vA + w×AC
multiplicando escalarmente por u, se tiene
ì
í
î
vB·u
=
vA·u + (w,AB,u)
Þ
w·(AB×u) = 0
vC·u
=
vA·u + (w,AC,u)
Þ
w·(AC×u)
con lo que la rotación w es perpendicular a dos vectores (AB×u,AC×u) linealmente independientes y paralelos al plano p1, lo que implica que w es normal al plano p1. Entonces, la velocidad de cualquier otro punto P del sistema
vP = vA + w×AP
al ser multiplcada escalarmente por u, es
vP ·u = vA ·u + (w,AP ,u)
se anula. Por lo tanto, las velocidades de todos los puntos de S son paralelas a p1, como se quería demostrar.

Además, en la demostración se ha revelado una importante propiedad: en un movimiento plano, el vector rotación es perpendicular al plano director.

En un movimiento plano, el segundo invariante del grupo cinemático (el producto escalar de la velocidad de cualquier punto por el vector rotación) es nulo, lo que implica la existencia (cuando la rotación no se anule), de un eje de puntos cuya velocidad es nula (eje instantáneo de rotación) que perpendicular al plano director. Por lo tanto, los axoides son superficies cilíndricas de generatrices normales al plano director, que permanecen siempre tangentes a lo largo de una generatriz sobre la que se produce un movimiento de rodadura pura.

Por otra parte, las velocidades de todos los puntos situados en una perpendicular al plano director son iguales y sus trayectorias, por lo tanto, son paralelas. Esto sugiere el estudio del movimiento de sólo los puntos de estas rectas situados sobre el plano director. Los puntos de S que evolucionan sobre p1 constituyen el plano móvil p. La cinemática plana puede entonces reducirse al estudio de la evolución de un plano móvil p que se mueve sobre un plano fijo p1. El punto del eje instantáneo de rotación situado sobre p recibe el nombre de centro instantáneo de rotación (CIR). Éste puede definirse como el punto del plano móvil cuya velocidad respecto al fijo es nula. Lo denotaremos por Im(t), dinde el subíndice recuerda que se trata de un punto del plano móvil y reteniendo la dependencia temporal para subrayar el hecho de que un punto del sistema móvil es CIR en un instante dejando de serlo justo después de ese instante, cuando otro puntodel plano móvil recoja el título de centro instantáneo de rotación.

La intersección del axoide fijo con p1 recibe el nombre de base o polar fija.La intersección del axoide móvil con p recibe el nombre de ruleta o polar móvil. En el transcurso del movimiento plano, la ruleta rueda sin deslizar sobre la base. Puede redefinirse la ruleta como el lugar geométrico de los puntos del plano móvil que en algún momento hayan sido o vayan a ser centros instantáneos de rotación. Igulmente puede redefinirse la base como el lugar geométrico de puntos del plano fijo sobre los que se encuentren en algún momento el centro instantáneo de rotación de ese momento.

El punto que sin ser solidario al sistema fijo ni al sistema móvil se mueve de forma que su posición en cada instante sea la del centro instantáneode rotación de ese instante, se llama seguidor de polos. Se notará como I. El seguidor de polos se sitúa en cada instante sobre el CIR de ese instante. De este modo, se puede dar una definición equivalente de la base y ruleta como las trayectorias del seguidor de polos en respecto a los planos fijo y móvil respectivamente.

Si se escribe la fórmula del campo de velocidades del plano móvil tomando como punto de referencia el CIR, se tiene

vP = w×IP
lo que determina la propiedad fundamental del CIR que establece que las normales a las trayectorias de todos los puntos de p se cortan en el centro instantáneo de rotación.