Dinámica del sólido rígido con un eje fijo: equilibrado estático y dinámico


El sólido rígido con un eje fijo es un caso particular de la dinámica de sistemas ligados. En este caso la restricción consiste en impedir el movimiento de todos los puntos de un eje del sólido. Para inmovilizar el eje se fijan dos puntos del mismo, pongamos A y A', separados una distancia a, como muestra la figura 1. Para la sujeción del primer punto, A, se puede utilizar un cojinete de empuje que asegure el esfuerzo necesario en cualquier dirección para garantizar la inmovilización de A. Una vez inmovilizado un punto, el segundo, A' no tiene tantas posibilidades de moverse. Aún sin añadir ningún otro vínculo, el cojinete de empuje en A sólo permitiría que A' se moviese sobre una superficie esférica centrada en A y, por lo tanto, su velocidad sería perpendicular al eje al que pertenecen A y A'. Por ello, basta con situar en A' un cojinete radial, que suministre el esfuerzo perpendicular al eje que sea necesario para impedir el movimiento de A'.

Para calcular las reacciones en los apoyos A,A', se deberá utilizar los teoremas fundamentales de la dinámica del sólido rígido:

Para ello, se procederá según los siguientes pasos
  1. definición de sistemas de referencia
  2. elección de los parámetros de posición del sistema
  3. indentificación de las fuerzas actuantes
  4. cálculo de las magnitudes mecánicas fundamentales
  5. aplicación de los teoremas dinámicos
  6. solución de las ecuaciones
  7. equilibrado dinámico
  8. equilibrado estático
  9. ejes permanentes y espontáneos de rotación
  10. eje de oscilacion
  11. cuestiones
  12. ejercicios
  13. problema

Sistemas de referencia utilizados

Se elije un sistema de referencia ligado al sólido, con los elementos: y un sistema de referencia fijo, con los elementos:

Elección de los parámetros de posición

En este caso, bastará un único parámetro que elegimos como el azimut u del primer eje móvil respecto al primer eje fijo, orientado por el tercer eje fijo. Según esto, la rotación del sólido vendrá dada por la derivada de u respecto al tiempo multiplicada por el vector unitario k


Fuerzas actuantes

Las fuerzas actuantes son, como ya se sabe, de dos tipos: de ligadura y aplicadas:

Magnitudes mecánicas fundamentales

Las magnitudes mecánicas que se van a utilizar son: la cantidad de movimiento y el momento cinético central:
p = m vc
pero la velocidad del centro de masas es
vc = w x rc
por lo que, teniendo en cuenta que MA=m rc es el momento estático respecto al punto A, se tiene
p = w x MA
LA = IA · w


Aplicación de los teoremas mecánicos fundamentales

La dinámica del sólido rígido puede derivarse de la aplicación de los dos teoremas fundamentales: que proporcionan las seis ecuaciones independientes necesarias para la determinación de las seis incógnitas que aparecen en este problema: la evolución de ángulo que gira el sólido u(t) y las reacciones en los apoyos, RA,RA'
D(p)=F+RA+RA'
el primer miembro se evalúa de la siguiente forma
D(w x MA) = D(w) x MA + m w x D( rc) = D(w) x MA + m w x ( w x rc)
D(w x MA) = D(w) x MA + m w x D( rc) = D(w) x MA + w x ( w x MA)
con lo que
D(w) x MA + w x ( w x MA) = F+RA+RA'
teniendo en cuenta que w = w k ,
D(w) k x MA + w2 k x ( k x MA) = F+RA+RA'
en este caso, tomando momentos respecto al punto A que es fijo, se tiene
D(IA · w) = N + a k x RA'
como el tensor de inercia del sólido es constante en el sistema ligado al sólido, la derivación del primer miembro puede reducirse a la suma de la derivada del vector respecto al sistema del sólido, más el producto vectorial de la rotación del sólido por el propio momento cinético, es decir
D(IA · w) = IA · D(w) + w x(IA · w)
o bien, escribiendo w = w k y llamando S al vector de inercia del eje z en A, es decir, al vector (IA · k), que es un vector solidario al sólido, se puede escribir
D(IA · w) = D(w) S + w2 (k x S)
y el teorema del momento cinético se escribe:
D(w) S + w2 (k x S) = N + a k x RA'
con lo que se tiene una ecuación vectorial, que, junto a la obtenida por la aplicación del teorema de la cantidad de movimiento, completa el sistema necesario para la determinación de las reacciones.

Obtención de las reacciones

A partir de las ecuaciones provenientes de la aplicación del teorema de la cantidad de movimiento y del momento cinético, se pueden calcular las reacciones en los apoyos. En efecto, de la última, teniendo en cuenta que RA' es perpendicular al eje z, se puede despejar:
[D(w) S + w2 (k x S) - N ] x k / a = RA'
y, teniendo en cuenta la ecuación proveniente de la aplicación del teorema del la cantidad de movimiento, se tiene
D(w) k x MA + w2 k x ( k x MA) -F - [D(w) S + w2 (k x S) - N ] x k /a = RA
teniendo en cuenta que al momento estático respecto al eje z es Mz = k x (MA x k), se puede escribir
D(w) k x MA -w2 Mz -F - [D(w) S + w2 (k x S) - N ] x k /a = RA
lo que se resume en el cuadro 1

cuadro 1

RA' 
[D(w) S + w2 (k x S) - N ] x k / a 
R D(w) k x MA + w2 Mz -F - [D(w) S + w2 (k x S) - N ] x k /a 

Equilibrado dinámico

Como se ve en la solución para las reacciones en los apoyos expresadas en el cuadro 1, las reacciones en los apoyos se pueden descomponer en dos partes: desglosando ambas componentes, se tiene el cuadro 2

cuadro 2

Reacción
componente dinámica
componente estática
RA'
[D(w) S + w2 (k x S) ] x k / a 
- N x k / a 
RA
D(w) k x Mz - w2 Mz - [D(w) S + w2 (k x S) ] x k /a 
-F + N x k /a 
Si Mz y ( S x k ) son nulos, entonces las componentes dinámicas se anulan y se dice que el sólido rígido se encuentra equilibrado dinámicamente. Estas dos condiciones se traducen en:
Cuando el sólido no se encuentra dinámicamente equilibrado, entonces, cuando se encuentra girando con velocidad angular constante, w, las reacciones dinámicas son:
RA'
w2 (k x S) x k / a 
RA - w2 Mz - w2 (k x S) x k /a
Como los vectores Mz ,k ,S son solidarios al sólido, RA',RA giran a la vez que éste, constituyendo, respecto al sistema fijo, dos fuerzas que giran con velocidad angular constante w. Esto quiere decir que los cojinetes y todo el sistema de sustentación del eje del sólido soportan continuamente un sistema de esfuerzos oscilatorios, que se traducirá en vibraciones, fatiga, etc. Estos efectos negativos justifican la importancia de equilibrar dinámicamente los ejes móviles de los sistemas. Los métodos de equilibrado hacen girar un sólido en torno a un eje con una w dada y se basan en la medida (electrónica) de las reacciones RA',RA posicionándolas por el ángulo que formen respecto a una referencia del sólido y obteniendo, asímismo, sus módulos. Para compensarlas, se pueden añadir al sólido dos masas puntuales, m, m', situadas a distancias b,b' del eje, según las semirrectas soporte de las reacciones RA,RA' de forma que :
con lo que las reacciones dinámicas son nulas y, en consecuencia, queda asegurado que z es eje del elipsoide central de inercia y, por tanto, para cualquier w el sólido se encuentra dinámicamente equilibrado. El proceso se realiza de forma automática, con un equipo de adquisición de datos basado en sensores de fuerza que proporcionan los datos correspondientes a un ordenador, el cual, calcula las masas o las distancias a las que se deben colocar.

Cuando el sólido se encuentra dinámicamente equilibrado, las reacciones sólo tienen su componente estática y, por tanto, son independientes del movimiento.


Equilibrado estático

En algunas ocasiones se busca que el centro de masas sea un punto contenido en el eje fijo del sólido. Es este caso se dice que el sólido rígido se encuentra estáticamente equilibrado. Cuando se dan estas condiciones, el conjunto de reacciones dinámicas se reduce a un par de fuerzas. Además, si las fuerzas aplicadas se reducen al propio peso del sólido, su momento es nulo. Por lo tanto, cualquier posición del sólido es de equilibrio.


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Puede dirigirse al autor mediante correo electrónico:
Autor: José Ma Díaz de la Cruz Cano

Más información en la publicación:

JM. Díaz de la Cruz Cano, J.J. Scala Estalella. Dinámica del sólido rígido. Sección de Publicaciones de la ETSIIM. Madrid, 1996.

El cálculo vectorial necesario puede encontrarse en:

J.J. Scala Estalella. Análisis Vectorial I. Editorial Síntesis. Madrid, 1995.