Tensor de inercia

Cuando en un contexto físico una magnitud escalar a es una función lineal de otra x , es decir, cuando

a(l x + m y) = l a(x) + m b(y)

entonces esta relación puede representarse mediante un escalar k tal que

a(x)=k x

Cuando en un contexto físico un vector (o seudovector) a es una función lineal de otro vector ( o seudovector)  x, no siempre los dos vectores tienen que ser colineales. La relación entre ambos no puede representarse por un escalar como en el caso anterior. Esta relación lineal puede representarse mediante un tensor de segundo orden o diádica (en nuestro contexto estos dos términos representan lo mismo)  K.

a= K · x

Un tensor de segundo orden o diádica, en nuestro contexto, representa siempre una función lineal definida sobre el conjunto de vectores del espacio euclídeo tridimensional que toma valores en sí mismo. La relación entre el momento cinético de un sólido rígido que se mueve con un punto O fijo con rotación w y la propia w , LO=LO(w) se representa por el tensor de inercia de O. 

LO= IO · w

Las funciones lineales, como es bien conocido, se representan por matrices y por lo tanto, los tensores se representan por matrices de forma que las componentes del tensor de inercia en una base xyz y las de los seudovectores LO,w están relacionadas por

                             
æ
ç
ç
ç
è
Lx
Ly 
Lz
ö
÷
÷
÷
ø
=
æ
ç
ç
ç
è
 Ix 
-Pxy
-Pzx
-Pxy
 Iy 
-Pyz
-Pzx
-Pyz
 Iz 
ö
÷
÷
÷
ø
· æ
ç
ç
ç
è
wx
wy 
wz
ö
÷
÷
÷
ø

 

 


 

Un estudio más profundo está en la geometría de masas (formato pdf).

Las componentes del tensor de inercia representan momentos y productos de inercia. Algunas propiedades interesantes del tensor son las siguientes

  1. Una distribución de masas define un tensor de inercia en cada punto O del espacio
  2. El tensor de inercia es simétrico (siempre se representa por una matriz simétrica) y definido positivo.
  3. Es diagonalizable siempre
  4. Sus direcciones propias son las de los ejes del elipsoide de inercia de O.
  5. Sus valores propios son los momentos de inercia respecto a los ejes anteriores.
  6. Si su representación en la base xyz es diagonal, los ejes Ox, Oy, Oz son ejes del elipsoide de inercia de O.
  7. Sus componentes en dos bases xyz, x'y'z'  están relacionadas por la fórmulas de cambio de base (IO)'=T(IO)T' donde T,T' representan la matriz de cambio de base y su traspuesta.
  8. Las componentes según una base cualquiera de los tensores de inercia del centro de masas C (tensor central) y otro punto cualquiera están relacionada por la fórmula de Steiner utilizando la notación habitual

    ( IO )= (IC )+m ((OC)(OC)T1 - m ((OC)T (OC))

     

  9. Si la distribución másica  una recta que pasa por O entonces su dirección es una dirección propia del tensor de inercia que dicha distribución define en O.
  10. Si la distribución másica es simétrica respecto a un plano que pasa por O, entonces la dirección perpendicular al plano es una dirección propia del tensor de inercia que dicha distribución define en O.
  11. Si una distribución másica presenta simetría de revolución en torno a un eje que pasa por O, entonces lasdirección del eje de revolución y las de todas las rectas perpendiculares al mismo que pasen por O son autodirecciones del tensor de inercia de O; la representación matricial del tensor de inercia en una base que tenga su dirección según la de revolución es 
                                                                            æ
ç
ç
ç
è
 Ix 
0
0

0

 Ix 
0
0
0
 Iz 
ö
÷
÷
÷
ø

 

 

 

otras páginas de geometría de masas: