Mecánica analítica: sistemas con capacidad motora

En muchos sistemas mecánicos los sistemas de control de motores son tan efectivos que pueden hacer que el movimiento de sus ejes (si son rotativos) o de sus émbolos (si son lineales) siga la evolución de una señal de control (eléctrica generalmente) de forma prácticamente insensible a variaciones en el sistema que debe ser movido, de forma que esta pauta de control puede ser tomada como una ligadura introducida en el sistema. Considérese el siguiente ejemplo

Un pequeño vehículo radiocontrolado de cuatro ruedas, y masa m puede moverse sobre una plancha metálica rectangular de masa 2m rodando sin deslizar sobre la misma. La plancha tiene un coeficiente de rozamiento nulo con el plano horizontal y fijo en el que se apoya. El movimiento del vehículo sobre la plancha está controlado por un usuario exterior, que efectúa el siguiente movimiento:

Un avance rectilíneo de aceleración constante a0 desde el reposo que dura un tiempo t1. El centro de masas del vehículo avanza sobre un camino rectilíneo que contiene al centro de la plancha. Obtenga el movimiento de la plancha durante este intervalo.

En este intervalo, puede decirse que h = 0,j = 0,x = 1/2 a0 t2. La energía cinética del sistema es

T = m .
x
 
2
 
+ 1
2
m ( .
x
 
+ .
x
 
)2
la energía potencial es constante. Dado que se introduce en el sistema la ligadura x- 1/2 a0 t2 = 0, las ecuaciones del movimiento son
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
3m ..
x
 
+ m ..
x
 
=
0
m( ..
x
 
+ ..
x
 
)
=
l1
x- 1/2 a0 t2
=
0
con lo que
..
x
 
= - 1
3
a0     Þ     x = - 1
6
a0 t2
El multiplicador l1 representa la fuerza de rozamiento entre el vehículo y la plataforma.

Otra clase habitual de problemas se refiere al movimiento de sistemas con capacidad motora (insectos, etc). que evolucionan sobre plataformas, segmentos, cuerdas, etc. En este caso, la forma exacta del sistema motor es irrelevante, supuesto que la energía cinética de éste es despreciable. Por ejemplo, considérese el siguiente problema.

Un insecto de masa m y dimensiones despreciables se mueve sobre un disco circular horizontal de masa M y radio R que puede girar libremente en torno a su eje. Si la ley de movimiento del insecto en coordenadas polares relativas a una base solidaria al círculo, con origen en su centro es r = r(t),j = j(t) y el ángulo girado por el círculo desde el instante inicial es q(t), encuentre la ecuación diferencial que rige la evolución de este último parámetro.

En este caso, la energía cinética del sistema es

T = 1
2
m( .
r
 
2
 
+ r2( .
j
 
+ .
q
 
)2) + 1
4
M R2 .
q
 
2
 
y la energía potencial es constante. Laecuaciones diferenciales del movimiento son
ì
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
î
m ( ..
r
 
- r( .
q
 
+ .
f
 
)2)
=
l1
m (r( ..
j
 
+ ..
q
 
) + 2 r .
r
 
( .
j
 
+ .
q
 
))
=
l2
m (r( ..
j
 
+ ..
q
 
) + 2 r .
r
 
( .
j
 
+ .
q
 
)) + 1
2
M R2 ..
q
 
=
0
con lo que
mr2( .
j
 
) + (mr2+ 1
2
M R2) .
q
 
= C
Sustituidas r(t),j(t), se tiene una ecuación diferencial que determina la evolución de q(t). Las incógnitas l1,l2 representan la componente radial y el momento áxico de la fuerza entre el insecto y el disco.

Otro ejemplo muy típico es el de un mono de masa m que trepa por una cuerda vertical la cual puede deslizar sobre una polea y sostiene en su otro extremo una masa M. Si el desplazamiento del mono sobre la cuerda es x(t) = f(t)(conocida), se trata de obtener la ecuación diferencial que rige el levantamiento z del peso M.

En este caso, se tiene un lagrangiano del sistema

L = 1
2
m ( .
x
 
- .
z
 
)2 + 1
2
M .
z
 
2
 
- mg(x-z) - M g z
con la ecuación de ligadura
x- f(t) = 0
con lo que las ecuaciones del movimiento son
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
m ( ..
x
 
- ..
z
 
) + mg
=
l1
-m ( ..
x
 
- ..
z
 
) +M ..
z
 
+ Mg-mg
=
0
es decir
(M +m) ..
z
 
= -(M-m) g + m ..
x
 
La incógnita l1 representa la fuerza entre el mono y la cuerda.


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On 15 May 2000, 21:17.