Ejercicios de mecánica analítica con funciones lagrangianas

1.- Un punto material de masa m se mueve sobre una recta d. En una referencia O1x1y1z1 fija cuyo tercer eje es vertical ascendente las ecuaciones que definen d son

x1 = 0   ;    y1 sen wt - z1 coswt = 0
donde w es una constante con dimensiones de velocidad angular. Encuentre la lagrangiana del sistema y las ecuaciones diferenciales del movimiento tomando como única coordenada la abscisa q que posiciona el punto sobre la recta.

El sistema es unidimensional n = 1, pues la posición del punto puede definirse a partir de la coordenada q sin más información. Además, la derivada temporal de q no tiene que satisfacer ninguna restricción adicional, por lo que el sistema es holónomo. La posición de P viene dada por la función

r(P,q,t) = q coswt j + q sen wt k
que depende del tiempo, por lo que el sistema es reónomo.

La energía cinética es

T = 1
2
m ( .
q
 
2
 
+ q2 w2)

La única fuerza aplicada, el peso, deriva de un potencial

U = mg z1 = mgqsen wt
con lo que la función lagrangiana es
L = T - U = 1
2
m ( .
q
 
2
 
+ q2 w2) - mgqsen wt
La ecuación de Lagrange es
m ..
q
 
- m w2 q + mg sen wt = 0
es decir, dividiendo entre m
..
q
 
- w2 q = - g sen wt
cuya solución es
q(t) = q0 coshwt + g
2w2
(sen wt - senh wt)+ 1
w
.
q
 

0 
senh wt

2.- Un segmento AB de masa m y longitud 2a se mueve de forma que su extremo A permanece sobre un eje vertical ascendente y fijo y1, mientras que su extremo B permanece sobre un eje x1 horizontal que corta al anterior en el origen de coordenadas O1. Si se posiciona el sistema por el ángulo polar j del centro de masas C respecto al eje x1, encuentre la función lagrangiana del sistema.

El sistema es unidimensional, pues el parámetro j determina totalmente la posición del sistema. Como ninguna ligadura impide ningún valor de su derivada, el sistema es holónomo. Como la dependencia entre la posición de cada punto de la barra y el ángulo j no depende del tiempo, el sistema es esclerónomo.

Su energía cinética, calculaándola con el momento de inercia respecto al CIR es, teniendo en cuenta que la velocidad angular del sistema es la opuesta a la derivada temporal de j, se tiene

T = 1
2
II .
j
 
2
 
= 1
2
4
3
m a2 .
j
 
2
 
= 2
3
m a2 .
j
 
2
 

La fuerza aplicada es el peso, que deriva del potencial gravitatorio

U = mg a sen j

con lo que la función lagrangiana es

L = T-U = 2
3
m a2 .
j
 
2
 
-mg a sen j

y la ecuación diferencial del movimiento es

4
3
m a2 ..
j
 
+ mg a cosj = 0
o bien
..
j
 
+ 3g
4a
cosj = 0
que con el cambio de variable j = q+ p/2 se tiene
..
q
 
+ 3g
4a
sen q = 0
que es la ecuación de un péndulo simple de longitud equivalente
l = 4
3
a


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On 8 May 2000, 16:00.