Mecánica Analítica: problema de cálculo de reacciones de ligadura

 

Un segmento AB de masa m y longitud 2a se mueve de forma que su extremo A permanece sobre un eje horizontal y1, mientras que su extremo B permanece sobre un eje x1 horizontal que corta al anterior en el origen de coordenadas O1. Si se posiciona el sistema por el ángulo polar j del centro de masas C respecto al eje x1, encuentre la función lagrangiana del sistema y la fuerza de ligadura que actúa sobre B, suponiendo en el instante inicial la derivada de j respecto al tiempo es W   y su valor es  j = 0

Se procede en primer lugar como si no se solicitase ninguna fuerza de ligadura (apartado 1) y luego teniendo en cuenta esta incógnita (apartado 2).

1.- El sistema es unidimensional, pues el parámetro j determina totalmente la posición del sistema. Como ninguna ligadura impide ningún valor de su derivada, el sistema es holónomo. Como la dependencia entre la posición de cada punto de la barra y el ángulo j no depende del tiempo, el sistema es esclerónomo.

Su energía cinética, calculaándola con el momento de inercia respecto al CIR es, teniendo en cuenta que la velocidad angular del sistema es la opuesta a la derivada temporal de j, se tiene

T = 1
2
II .
j
 
2
 
= 1
2
4
3
m a2 .
j
 
2
 
= 2
3
m a2 .
j
 
2
 
Dado que en este caso la energía potencial es constante (nula, por ejemplo), la función lagrangiana es
L = 2
3
m a2 .
j
 
2
 
con lo que la ecuación del movimiento es
..
j
 
= 0    Þ    j = w0 t + j0 = Wt
2.- Hasta aquí se ha calculado la ley del movimiento del sistema, pero las fuerzas de ligadura no han desempeñado papel alguno en las ecuaciones. Para que puedan calcularse, se debe LIBERAR el sistema de la ligadura cuya fuerza se desea calcular. En este caso, la que afecta al punto B. Por lo tanto, el sistema que se obtiene es más libre; necesita más coordenadas. 

El nuevo sistema consiste en una barra AB cuyo primer extremo debe permanecer sobre el eje y. Se necesitan dos parámetros para posicionar el sistema; por ejemplo, j y la ordenada yB de B. Según esto, la nueva energía cinética se obtiene a partir de la velocidad de C. La posición del centro de masas está dada por

rC = a sen
ji + (yB +a cosj)j
su velocidad es
vC = a .
j
 
cosji + ( .
y
 

B 
- a .
j
 
sinj)j
con lo que aplicando el segundo teorema de Koennig se tiene
T = 1
2
m (a2 .
j
 
2
 
+ .
y
 
2
B 
- 2 a .
j
 
.
y
 

B 
sen
j) + 1
6
m a2 .
j
 
2
 
es decir
T = 1
2
m ( 4
3
a2 .
j
 
2
 
+ .
y
 
2
B 
- 2 a .
j
 
.
y
 

B 
sen
j)
la ecuación de ligadura es
yB = 0
al aplicar las ecuaciones de Lagrange se tiene
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
4
3
m a2 ..
j
 
- ma ..
yB
 
sen
j- ma .
j
 
.
y
 

B 
cosj+ m a .
j
 
.
y
 

B 
cosj)
=
0
m ..
y
 

B 
- ma ..
j
 
sen
j-ma .
j
 
2
 
cosj
=
l1
que junto a la ecuación de ligadura yB = 0 determinan el sistema. La primera ecuación queda, como podía preverse
..
j
 
= 0
y la segunda queda
l1 = - m a W2 cosWt
las componentes generalizadas de la fuerza buscada son 0,l1 y su trabajo virtual es
l1 dyB
El trabajo virtual de la componente newtoniana buscada es
Ry dyB
con lo que
Ry = l1 = - m a W2 cosWt


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On 12 May 2000, 11:47.