Caja de baile

Se desea construir una caja de música en la que un sólido rígido s que representa una pareja de baile se mueva de forma que su centro O describa una circunferencia de centro O1 fijo y radio R a la vez que el sólido gire respecto a la recta que une O1 con O dando dos vueltas completas respecto a dicha recta cada vez que O describe toda una circunferencia alrededor de O1 respecto al sistema fijo, según muestra la animación. Encuentre la base y la ruleta de este movimiento.

Si se define una base de referencia fija con origen en O1 y una referencia móvil con origen en O de forma que las direcciones y sentidos de sus ejes coincidan en el intante inicial, se tiene, llamando a = j/3 (téngase en cuenta que por cada vuelta que da la recta soporte de O1O respecto al fijo, el sistema móvil da dos vueltas respecto a la recta y tres respecto al fijo).

x = R cosa
h = R sen a

sus derivadas respecto a j son iguales a las derivadas respecto a a divididas por 3. Según esto, se tiene, aplicando las ecuaciones paramétrico-angulares de la base

x1 = R cos a- R/3 cos a = 2/3 R cos a
y1 = R sen a- R/3 sen a = 2/3 R sen a
ecuaciones que representan una circunferencia de centro O1 y radio R. Las ecuaciones paramétrico-angulares de la ruleta dan
x = R/3 (-senasen j- cos acosj) = - R/3 cos 2a
y = R/3 (-senacos j+ cos asen j) =   R/3 sen 2a
ecuación de una circunferencia de centro O y radio R/3. Puede apreciar el movimiento final en la animación.


Dudas: José Mª Díaz de la Cruz