Mecánica analítica: pistón

El sistema de la figura representa un mecanismo contenido en un plano horizontal fijo xy. Consta de dos barras AB,BC cada una de masa m y longitud 2a. La primera barra puede rotar libremente en torno a una articulación fija en A que coincide con el origen de coordenadas. El segmento BC está articulado al AB en A y su extremo B se puede mover sin rozamiento sobre el eje x.

Se parametriza la posición del sistema por el ángulo j. Obtenga la energía cinética del sistema en función de la coordenada j y su derivada temporal.

La energía cinética de la primera barra es

T1 = 2
3
m a2 .
j
 
2
 
Para la segunda barra, se localiza el centro istantáneo de rotación
I( 4a cosj, 4a sen
j)
con lo que el momento de inercia respecto a dicho punto es
II = 1
3
m a2 + m a2cos2j+ 9 m a2 sen
2 j = 4
3
m a2 + 8 m a2 sen
j
de modo que la energía cinética de la segunda varilla es
T2 = 2
3
m a2 .
j
 
2
 
+ 4 m a2 sen
2j .
j
 
2
 
con lo que
T = 4
3
m a2 .
j
 
2
 
+ 4 m a2 sen
2j .
j
 
2
 

Si no hay fuerzas aplicadas, entonces la integral de Painlevé-Jacobi queda

4
3
m a2 .
j
 
2
 
+ 4 m a2 sen
2j .
j
 
2
 
= E
por lo que
A dt = ± dj
(4-3cos2 j)1/2
o bien, si y = [(p)/2] - j, entonces
B (t-t0) = ± ó
õ
1
(1-3/4 sin2 y)1/2
dy
que es una integral elíptica de primera especie.


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On 25 May 2000, 14:36.