El regulador de Watt es un mecanismo cuya misión principal es adoptar una
posición que dependa de la velocidad de giro de un eje y que dicha posición
controle la mayor o menor acción motora sobre la carga del sistema. Se procede a
estudiarlo como un problema académico.
Se dispone de un sistema formado por los siguientes elementos:
Un sólido rígido pesado s(azul) formado por una esfera maciza de radio R y masa m con una varilla de masa despreciable de longitud
3R normal a la superficie esférica, como muestra la figura.
Un eje vertical d (verde claro) que gira con velocidad angular W, articulado a la varilla por un pasador o bulón en A.
Se supone que la velocidad angular W(t)es conocida. Se tomará un sistema de referencia con origen en A, tercer eje dirigido de A al centro O de la esfera, primer eje en el plano de la varilla y el eje según la figura y segundo eje el necesario para completar una terna ortonormal y a derechas.
I.- Se estudian en primer lugar el movimiento del sólido y la acción de las fuerzas de ligadura en A.
Expresar en función de R,m,W(t),q(t), la velocidad angular del sólido s en la base definida.
a) La rotación es:
® w
= Wsenq
® i
- Wcosq
® k
b) La rotación es:
® w
= Wsinq
® i
+
. q
®
j
- Wcosq
® k
c) La rotación es:
® w
=
. q
®
j
El sólido gira con una velocidad angular respecto al eje que a su vez gira con velocidad W
con lo que la rotación del sólido es
® w
= Wsinq
® i
+
. q
®
j
- Wcosq
® k
Expresar el tensor de inercia de A en la base anterior y el momento cinético respecto al punto A.
En primer lugar se puede obtener el tensor central de inercia y luego hallar, por aplicación de la fórmula de Steiner, el tensor de A.
El tensor de inercia en el punto O, expresado por sus componentes en la base dada es
a) Las componentes en la base dada del tensor
central de inercia son:
IO =
12
mR2
æ ç ç
ç è
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ö ÷ ÷
÷ ø
b) Las componentes en la base dada del tensor central
de inercia son:
IO =
15
mR2
æ ç ç
ç è
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ö ÷ ÷
÷ ø
c) Las componentes en la base dada del tensor central
de inercia son:
IO =
25
mR2
æ ç ç
ç è
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ö ÷ ÷
÷ ø
IO =
25
mR2
æ ç ç
ç è
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ö ÷ ÷
÷ ø
con lo que, aplicando Steiner
IA =
25
mR2
æ ç ç
ç è
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ö ÷ ÷
÷ ø
+m(4R)2
æ ç ç
ç è
1
0
0
0
1
0
0
0
0
ö ÷ ÷
÷ ø
que resulta en
IA =
25
mR2
æ ç ç
ç è
41
0
0
0
41
0
0
0
1
ö ÷ ÷
÷ ø
Identificar las solicitaciones en A.
Si elegimos caracterizar las fuerzas de ligadura por su resultante y su
momento respecto al punto A, entonces se puede afirmar que
a)El momento respecto a A es nulo
b) La componente de la resultante según el eje y es
nula
c) La componente del momento según el eje y es nulo
Las ligaduras que consisten en dejar un eje fijo proporcionan una resultante y un momento perpendicular al eje respecto a cualquier punto del mismo. Por lo tanto se tiene una resultante
Rx
® i
+ Ry
® j
+ Rz
® k
y un momento
Nx
® i
+ Nz
® k
Obtener una ecuación diferencial cuya única incógnita sea q(t).
El teorema de la dinámica del sólido que se puede aplicar es
Obviamente, las ligaduras apuntan a la utilización de la segunda ecuación de Euler
Iy
. w
y
+ (Ix-Iz)wzwx = My
El momento de las fuerzas aplicadas (el peso) es
My = (
® r
C
, -mg
® k
1
,
® j
) =
ê ê ê
ê ê
0
0
4R
-mgsinq
0
mgcosq
0
1
0
ê ê ê
ê ê
= -4 mgR sinq
con lo que
41
.. q
-40 W2 sinqcosq = -10
gR
sen q
Si W(t) fuese constante, calcular para qué valores existiría una solución estacionaria q(t) = q0.
En este caso, anulando la segunda derivada de q se tiene
cosq =
g4W2
que tiene solución cuando
W2 >
g4R
II.- Se añaden al sistema anterior una segunda varilla de masa despreciable CD articulada en los puntos C,D y un deslizador o corredera D de masa igualmente despreciable. Existe una fuerza resistente de tipo viscoso entre el eje d y la corredera D directamente proporcional a la velocidad y de coeficiente de proporcionalidad g.
Identificar las solicitaciones en la barra CD.
Sobre esta barra se ejercen fuerzas en sus extreos, pues su peso se considera despreciable. En D recibe una fuerza vertical de módulo gvDdirigida en sentido contrario al de la velocidad y una fuerza horizontal que hace que la resultante sea paralela a la barra. Como la ordenada vertical de D es
h = -4Rcosq
la velocidad de D es
® v
= 4 R sinq
. q
®
k
y la componente vertical de la fuerza es
Fv = - 4 gR sinq
. q
®
k
La fuerza total será
F = 4 gR sinq
. q
/cosq
y su momento áxico respecto a Ay es
My = -16 gR2 sin2q
. q
Obtener una ecuación diferencial cuya única incógnita sea q(t).
De nuevo se utilza la segunda ecuación de Euler, con lo que se tiene
En este caso, se tiene que la solución estacionaria es (en grados)
q = p/3 radianes
y llamando a = q-p/3 expresado
, en unidades S.I.
41
.. a
+ 424.26
. a
+ 1500 a = 0
Resuelva la ecuación diferencial linealizada.
Al tratarse de una ecuación diferencial lineal, homogénea y de coeficientes constantes, se tiene
q(t) = p/3 + e-5.174 t(A cos 3.133 t + Bsen 3.133 t )
Se añade al sistema anterior una parte simétrica (roja) respecto al eje. De
esta forma se tiene un sistema equilibrado cuya dinámica es la misma que se ha
estudiado hasta ahora. Este mecanismo se denomina Regulador
de Watt.
EL regulador de Watt se ha utilizado ampliamente
en la regulación del régimen de giro de las máquinas de vapor. En efecto, la
posición del regulador refleja la velocidad de giro del eje que está acoplado
a la máquina. La posición del deslizador marca la admisión de la válvula de
vapor, de modo que si la máquina gira muy deprisa la admisión se reduce y si
la máquina gira despacio la admisión se abre.
