El teorema de la energía cinética establece que

d Ec = S Fi . d ri 

donde d ri representa una combinación de desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas aplicadas compatible con las ligaduras, Fi representa la fuerza aplicada sobre el punto i-ésimo cuyo desplazamiento elemental es d ri;si se divide la anterior ecuación entre dt, se tiene la correspondiente expresión en función de las velocidades.

d Ec /dt= S Fi . d ri /dt

En situaciones de equilibrio, o cuando la masa del sistema puede despreciarse, dEc es nulo y puede demostrarse (se hará en Mecánica Analítica), que para cualquier posible evolución del sistema (cualquiera que permitan las ligaduras)  S Fi . d ri = 0.


Por ejemplo, considere el sistema de la figura, que representa un polipasto. Los polipastos son sistemas mecánicos que se utilizan para izar cargas mediante fuerzas reducidas. Se basa en la idea de hacer que los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas sean mayores (el doble, triple, etc...)  que los de los puntos en que están aplicadas las cargas, de forma que las fuerzas necesarias sean menores en la misma proporción. 

 Se arrolla un hilo alrededor de las dos poleas N vueltas. Obtenga la relación entre el peso P de la caja roja y la fuerza F con la que se neutraliza en el extremo libre del hilo.

Debido a la geometría del problema, es fácil deducir que 

d h1=-2N dh2

-2N F1dh1 + P dh1=0

F1=P/(2N)


Puede recordarse en este punto que para un sólido rígido  

S Fi . d riF . d rP + MP . d a  =  (F . vP + MP . w ) dt


   

En un conjunto de dos cilindros de fricción de masa despreciable, como los de la figura, se puede elegir P en el centro de cada cilindro. En este caso

M1 w1 + M2 w2=0

M1w1-M2w1R1/R2 = 0

M1=M2 R1/R2

es decir, la relación entre los momentos es la inversa de la opuesta a la de rotaciones. Esta relación es aplicable a cualquier reductor/multiplicador de rotaciones o, según el resultado anterior, de par. Aunque la relación se ha deducido en condiciones de equilibrio, puede extrapolarse a situaciones en que la masa del sistema sea despreciable, pues las ecuaciones son las mismas.


Cuando las fuerzas aplicadas derivan de un potencial,

S Fi . d ri = - d U

con lo que la condición de equilibrio representa un punto en que el potencial presente un punto estacionario, es decir, que para cualquier conjunto de desplazamientos d ri compatible con las ligaduras,

S Ui . d ri = 0

donde Ui representa el gradiente de U respecto a la posición del punto i-ésimo. Si U presentase un mínimo local, el equilibrio sería estable, siendo inestable en cualquier otro caso.