Función circular

En el siguiente applet puede abrir o cerrar la apertura del círculo y la posición del plano de observación, observando la variación de la amplitud en dicho plano 

Sea la función f(x,y) expresada en corordenadas polares del plano x,y

ì
í
î
|r| > a     Þ f(x,y)
=
0
|r| £ a     Þ f(x,y)
=
1
Su transformada se puede calcular pasando a coordenadas r,j en el plano x,y y r,y en el plano u,v se tiene
R(r) = ó
õ
2p

0 
ó
õ
a

0 
exp (-i(rcosyrcosj+ r sen yrsen j))rdjdy
R(r) = ó
õ
2p

0 
ó
õ
a

0 
exp (-irrcos(j-y))rdrho dy
La integral
I = ó
õ
2p

0 
exp (-irrcos(j-y))rdvarphi
puede calcularse con el auxilio de la función de Bessel de orden cero
J0(w) = 1
2p
ó
õ
2p

0 
exp (-iwcosq)dq
resultando en
I = 2pJ0(rr)
con lo que
R(r) = 2p ó
õ
a

0 
rJ0(rr) dr
Las funciones de Bessel satisfacen la ley de recurrencia
w d Jn
d
w
+ n Jn = w Jn-1
con lo que para
n = 1
w d J1
d
w
+ J1 = w J0 Þ d wJ1
d
w
= wJ0
es decir
w J1(w) = ó
õ
w

0 
z J0(z) dz
de modo que haciendo
z = rr
R(r) = 2 pr-2 ó
õ
ar

0 
z J0(z) dz = 2 pa2 J1(a r)
ar
Las funciones de Bessel están tabuladas, así como sus ceros. Su comportamiento cualitativo es parecido al de la función
sinc. La difracción de Fraunhoffer de una apertura circular origina un patrón de círculos concéntricos dados por la fórmula anterior; el círculo central se conoce como disco de Airy. Asímismo, en los sistemas de formación de imagen, la finitud de la apertura, repercute en que la imagen de un punto no sea puntual, sino que está representada por la transformada de Fourier de la apertura que, si es circular, origina una dispersión reflejada en el disco de Airy. Este límite para la nitided de los sistemas fotográficos rara vez suele alcanzarse, debido a otras aberraciones del sistema y sólo aparece en los más perfeccionados.