Óptica geométrica

Contenido

  1. Introducción teórica

  2. Trazado de rayos

  3. Matriz de transformación

  4. Cámara fotográfica

  5. Microscopio compuesto

  6. Telescopio astronómico

  7. Lupa simple

  8. Tomografía axial por computador

 

Eikonal de un sistema óptico

La luz presenta una longitud de onda menor que una micra; cuando se propaga en un medio en el que las curvaturas de sus obstáculos y las distancias en las que propiedades físicas varían significativamente son mucho mayores que esta longitud, las ecuaciones de Maxwell pueden aproximarse a un modelo matemático conocido como Óptica geométrica. En esta página se presenta este modelo. Dadas las ecuaciones de Maxwell para ondas monocromáticas de pulsación w en ausencia de fuentes

ì
ï
ï
í
ï
ï
î
Ñ·(eE)
=
0
Ñ×E
=
- jwmH
Ñ·(mH)
=
0
Ñ×H
=
jweE
(1)
se desea establecer el comportamiento de su solución cuando 1/k = w/c es muy pequeño respecto a las dimensiones geométricas  del sistema,  las dimensiones típicas de variación de las características del medio y las curvaturas de sus fronteras. Si se escriben las soluciones en la forma
ì
ï
í
ï
î
E
=
eexp(jk0S)
H
=
hexp(jk0S)
(2)
donde k0 = m0e0/w y las funciones
e,h,S
(3)
representan campos vectoriales y escalar. Puede asumirse, sin pérdida de generalidad, que S y e son campos reales. Al calcular el rotacional, teniendo en cuenta que k0 ® ¥, puede aproximarse
ì
í
î
Ñ×E
»
j k0exp(jk0S) e ×ÑS
Ñ×H
»
j k0exp(jk0S) h ×ÑS
(4)
al utilizar la segunda y cuarta ecuaciones de Maxwell, se tiene
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
e×ÑS
=
- wm
k0
h
h×ÑS
=
we
k0
e
(5)
lo que indica que los vectores e,h,Ñ S forman una terna ortonormal a derechas y que h es un campo real. Premultiplicando vectorialmente (5) por Ñ S se tiene
ì
ï
í
ï
î
(ÑS)2 e
=
w2 me
k02
e
(6)
ecuación que, si n es el índice de refracción
n2 = me
m0e0
(7)
se escribe
(ÑS)2 = n2
(8)
conocida como eikonal1 que gobierna la óptica geométrica. Esta ecuación determina la evolución de S
Evolución de los campos eléctrico y magnético

Para encontrar la evolución de e,h se puede proceder a utilizar las ecuaciones primera y tercera de Maxwell.

ì
í
î
Ñe·E + ·E
=
0
Ñm·H + ·H
=
0
(9)
y tomar el rotacional de las ecuaciones segunda y cuarta de Maxwell
ì
í
î
Ñ×(Ñ×E)
=
-jwÑm×H -j wmÑ×H
Ñ×(Ñ×H)
=
+jwÑe×E +j weÑ×E
(10)
tomando la primera ecuación, se tiene
- Ñ(Ñ(lne) ·E)- Ñ2 E = Ñ( lnm) ×(Ñ×E)+ w2 meE
(11)
sustituyendo (2) y seleccionando la parte imaginaria se tiene
jk0 exp(jk0S) { 2(ÑS ·Ñ)e + e Ñ2 S - Ñlnme+2(e ·Ñlnn)} = 0
(12)
que simplificando origina
2(ÑS ·Ñ)e + e Ñ2 S - Ñlnme+2(e ·Ñlnn) = 0
(13)
ecuación que, junto a la correspondiente a la segunda de (10)
2(ÑS ·Ñ)h + h Ñ2 S - Ñlnee+2(h ·Ñlnn) = 0
(14)
determinan la evolución de los vectores eléctrico y magnético a lo largo de las normales a las superficies S = cte. Evidentemente, a lo largo de una normal que no tenga campos en un punto, los campos deben ser idénticamente nulos. Las ecuaciones anteriores, además, indican que la propagación a lo largo de cada una de estas normales es independiente, lo que indica que la onda se propaga según estas normales o rayos.

Se considera el valor medio del vector de Pointing

< P > = c
8
e×h = e
8pn2
c |e|2 ÑS = m
8pn2
c |h|2 ÑS
(15)
cuya divergencia es nula. Si se toma un tubo del campo Ñ S coronado por dos superficies S = s0,s1 y se efectúa la integral
ó
õ
< P > ·ds = 0
(16)
y por tanto
ó
õ


1 
a1 A2 ds1 = ó
õ


2 
a2 A2 ds2
(17)
donde si A2 representa el campo | e|2 entonces a = e/n y si A2 representa el campo |h |2 entonces a = m/n .

Si las dos superficies son esféricas, entonces

a1 A12 R12 = a2 A22 R22
(18)
que es la conocida ley del inverso del cuadrado. Si se denomina
I = a A2
(19)
se tiene
I = K
R2
de modo que pueden enunciarse las leyes fundamentales de la Óptica geométrica
Propiedades de la eikonal: fórmula de Smith-Helmholtz

Son destacables las siguientes características 

Partiendo de las leyes de Snell y las fórmulas de Fresnel, se puede desarrollar el trazado con lentes.

Sistemas uniaxiales

Es muy frecuente el diseño de sistemas ópticos en los que el comportamiento de la luz puede aproximarse satisfactoriamente por el modelo de óptica geométrica. Estos sistemas presentan geometrías con curvaturas grandes cuando se comparan con la longitud de onda de la luz. Entre ellos, los sistemas que trabajan con rayos de luz muy paralelos a un eje y presentan simetría de revolución en torno a este eje, reciben el nombre de sistemas uniaxiales.

Uno de los fenómenos que tienen lugar en estos sistemas es la refracción con una superficie esférica de radio R mucho mayor que la longitud de onda de la luz.

Sea la superficie de separación

x2+y2+z2 = R2    Þ     z » (x2+y2)/(2R)
entre un medio incidente i y un medio final t y sea un rayo en el plano zx que forma un ángulo a con z e incide sobre la superficie en un punto de la misma de cota x. En este punto la pendiente a la superficie esférica es aproximadamente
b » tanb = x/R
La ley de Snell dice que
n(a-b) = n¢(-b)
por lo que
= x (n¢-n)/(n¢R)+ an/n¢
Si se materializa una segunda transición del segundo medio al primero (lente) entonces tras una segunda refracción, se tiene, siendo
x¢ = x+ad
a¢¢ = x¢(n-n¢)/(nR¢) + x (n¢-n)/(nR)+ a
a¢¢ = x (n-n¢)/n (1/R¢- 1/R )+ ad(1+(n-n¢)/(nR¢) )
En una lente delgada
a¢¢ = x (n-n¢)/n (1/R¢- 1/R )+ a
o bien, llamando
-1/f = (n-n¢)/n (1/R¢- 1/R )
se tiene
a¢¢ = -x /f+ a
 
Matriz de transformación

En general existe una relación lineal entre las coordenadas x,a de un rayo de luz

æ
ç
è
x¢¢
a¢¢
ö
÷
ø
= æ
ç
è
1
0
-1/f
1
ö
÷
ø
æ
ç
è
x
a
ö
÷
ø
o bien
v¢ = M v
Todos los sistemas ópticos uniaxiales definen una matriz M del sistema, que, según la ecuación de Smith-Helmholtz, verifican
|M| = n/n¢

Notas:

1de la palabra griega eikon (eikon) que significa imagen


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On 27 Jul 2000, 09:54.