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Recordatorio de fundamentos electromagnéticos

Desde el establecimiento de las ecuaciones de Maxwell y la verificación experimental de Hertz, se conoce que los campos electromagnéticos variables originan ondas viajeras en el espacio. La velocidad de propagación en el vacío es constante, hecho que desencadenó el desarrollo de la Teoría Especial de la Relatividad por Einstein. La enorme variedad de frecuencias de las ondas electromagnéticas, así como la riqueza de sus interacciones con los constituyentes elementales de la materia origina una inmensa colección de aplicaciones que el ingeniero debe conocer. 


Contenido
  1. Ecuaciones de Maxwell: potenciales
  2. Condiciones de contraste
  3. Descomposición en ondas planas
  4. Ondas viajeras
  5. Ecuaciones de Fresnel

 


Ecuaciones de Maxwell: potenciales

Los fenómenos eléctricos y magnéticos originan el campo electromagnético. Las ecuaciones de Maxwell que rigen su comportamiento en medios lineales e isótropos son

Ñ·E
=
r
e
Ñ×E
=
- B
t
Ñ·B
=
0
Ñ×B
=
mj + me E
t
ü
ï
ï
ï
ï
ï
ý
ï
ï
ï
ï
ï
þ
(1)
La tercera ecuación indica que puede definirse un potencial vector A del que derive B, de forma que
B = Ñ×A
(2)
con lo que la segunda ecuación de Maxwell puede escribirse
Ñ× æ
ç
è
E + A
t
ö
÷
ø
= 0
lo que implica la existencia de un potencial escalar f tal que
E = -Ñf- A
t
(3)

Nótese que si se considera una función f(x,y,z,t), entonces los potenciales A¢ = A + Ñf,    f¢ = f- f / t también satisfacen las condiciones anteriores. Enseguida se retomará esta indeterminación.

Si se utiliza ahora la cuarta ecuación de Maxwell, se tiene

Ñ×(Ñ×A) = mj -meÑ f
t
- me 2 A
t2
es decir
[¯] A = - mj + meÑ f
t
+ Ñ(Ñ·A)
(4)
y para f
Df = - r
e
+ Ñ· A
t
(5)

Condiciones de contraste

Dado que los potenciales quedan indeterminados, se pueden imponer condiciones adicionales.

Según la condición de contraste utilizada, se dice que se trabaja en el gauge de Coulomb, de la radiación o de Lorentz.

Solución de la ecuación de ondas

La solución para la ecuación de ondas, en el gauge de Lorentz y supuestas verificadas condiciones de radiación en el infinito, es
f(x,y,z,t) =  1

4pe
ó
õ
ó
õ
ó
õ
r(x,h,z,t-  r

c
)

r
dt
(10)

A(x,y,z,t) =  m

4p
ó
õ
ó
õ
ó
õ
j(x,h,z,t-  r

c
)

r
dt
(11)
donde
r = [(x-x)2 + (y-h)2 + (z-z)2 ]1/2
y la integración se realiza sobre las variablas (x,h,z).

Las ecuaciones 10,11, junto con 2,3 determinan el campo electromagnético en medios homogéneos en función de las fuentes y pueden considerarse una alternativa a las ecuaciones de Maxwell en numerosas ocasiones.

Si se desean calcular los campos, se tiene
E(x,y,z,t) = -Ñf-  A

t

E(x,y,z,t) =  1

4pe
ó
õ
ó
õ
ó
õ
ì
í
î
 [ r]

t
 ur

c r
+  [ r]

r2
ur +  [ j ]

t
 1

c2 r
ü
ý
þ
dt
(12)
denotando el corchete que la dependencia temporal está retardada. Para la inducción magnética
B = Ñ×A

B(x,y,z,t) =  m

4p
ó
õ
ó
õ
ó
õ
ì
í
î
 [ j ]

t
×  ur

cr
+  [ j ]

r2
×ur ü
ý
þ
dt
(13)
Las ecuaciones 12,13 relacionan directamente los campos con las fuentes y también pueden constituir una alternativa a las ecuaciones de Maxwell en medios homogéneos.

 

A continuación se deduce la ecuación de ondas satisfecha por los campos E, B sin cargas. De la segunda ecuación de Maxwell

Ñ×(Ñ×E) = -m0e0 2E
t2
que teniendo en cuenta la primera ecuación de Maxwell resulta
[¯] E = 0
Igualmente, el campo B satisface la ecuación de ondas
[¯] B = 0
En una zona libre de cargas, según lo anterior, las componentes catesianas de los campos E,B y, en el gauge de Lorentz, de A y la propia función F, satisfacen la ecuación de ondas
[¯] U = 0
(10)

La solución de 10 cuando c es constante, como es bien sabido, es siempre una superposición de funciones viajeras cuya velocidad de propagación es c.

En lo que sigue se supondrá que se trabaja en el gauge de Lorentz.

Descomposición en ondas planas

Frecuentemente el estudio de la propagación de una onda se realiza desglosando ésta en sus componentes monocromáticas.

U(x,y,z,t) = ó
õ
+¥

-¥ 
u(x,y,z,w) expiwtdw
y sustituyendo esta expresión en 10, haciendo k2 = w2/c2, se tiene
ó
õ
+¥

-¥ 
(Du + k2 u) expiwtdw = 0
que implica, si se consideran soluciones "t, que cada componente monocromática verifique la ecuación de Helmholtz
Du + k2 u = 0
(11)
El teorema de Green establece que, si f,y son dos campos variables definidos en un recinto V de frontera S, se tiene
ó
õ


V 
(2 f- 2 y) dv = ó
õ


S 
(yÑf- fÑy)·ds
Se va a proceder a aplicarlo a las funciones u(A),G(P,A) tales que
Ñ2 u + k2 u = -x
G(P,A) = exp (-ik|AP|)
4p|
AP|
que verifica que si
A no es P, se tiene
ÑA2 G(P,A) + k2 G(P,A) = 0
Dado un punto interior
P Î V se puede seleccionar un esfera E(P,e) de radio e y centro P cuya frontera es la superficie esférica S(P,e), de modo que al aplicar la fórmula de Green sobre el recinto V-E(P,e), se tiene
ó
õ


S(P,e) 
(uÑG - G Ñu) ·ds + ó
õ


S 
(uÑG - G Ñu) ·ds ó
õ


V 
G(P,A) x dv    
cuando se hace tender e a la distancia nula, la primera integral tiende a
ó
õ
2p

0 
ó
õ
p

0 
u(A) (- uA exp (-ik|AP|)
4p|
AP|2
·(-uA) e2 sen qdqdj = u(P)
con lo que se tiene
u(P) = ó
õ


S 
(G(P,A) Ñu(A) - u(A) ÑA G(P,A))·dS + ó
õ


V 
G(P,A) x dv  
(1)

Ondas viajeras

Si se reproduce u(P,t), a partir de sus componentes armónicas (transformada inversa de Fourier), se tiene

u(P,t) = 1
2p
ó
õ
æ
è
ó
õ


S 
(G(w,P,A) Ñu(w,A) - u(w,A) ÑG(w,P,A)) ·dS + ó
õ


V 
G(w,P,A) x(w,A) dV ö
ø
exp (i wt) dw

u(P,t) = 1
8p2
ó
õ


S 
ó
õ
exp (iw(t-s/c)) Ñu(w,A) /s dw·dS -
1
8p2
ó
õ


S 
ó
õ
u(w,A) exp (iw(t-s/c)) Ñ(1/s) dw·dS +
1
8p2
ó
õ


S 
ó
õ
iw/c exp (iw(t-s/c)) /s u(w,A) dw·dS +
1
8p2
ó
õ


V 
ó
õ
exp (iw(t-s/c)) x(w,A)/sdwdV
si s = AP, con lo que se tiene
U(P,t) = 1
4p
æ
ç
è
ó
õ


S 
ì
í
î
-[U]Ñ(1/s) + 1
cs
é
ê
ë
U
t
ù
ú
û
Ñs + 1
s
[ÑU] ü
ý
þ
·dS + ó
õ


V 
[x]
s
dV ö
÷
ø
donde el corchete cuadrado indica un campo retardado.

En un campo definido en todo el espacio, de forma que la contribución de la integral en S se anule, se tiene

U(P,t) = 1
4p
ó
õ


V 
[x]
s
dV

que representa una onda viajera de velocidad c originada por la fuente x. 

Cualquier función u(x,y,z) define una transformada tridimensional de Fourier

V(m,v,w) = ó
õ


E3 
exp (-imx-ivy-iwz) y(x,y,z) dx dy dz
de forma que puede escribirse mediante
u(x,y,z) = 1
8p3
ó
õ


W3 
exp (imx+ivy+iwz) V(m,v,w) dm dv dw
si u satisface la ecuación de Helmholtz
Ñ2 u + k2 u = 0
entonces, dada la biyectividad (matizada) de la transformación de Fourier, se debe verificar que
Ñ2 u + k2 u = - 1
8p3
ó
õ


W3 
(m2+v2+w2 - k2) exp (imx+ivy+iwz) V(m,v,w) dm dv dw = 0
lo que implica que
V(m,v,w) = 0    cuando     (m2+v2+w2 - k2) ¹ 0
y por lo tanto la transformada de Fourier tridimensional sólo toma valores en la superficie esférica
m2+v2+w2 = k2
lo que implica que la función u(x,y,z) se puede descomponer en todo el espacio de forma unívoca en un conjunto de ondas planas cuyo vector de propagación tiene por módulo k.

Existen métodos ópticos (difracción Fraunhofer, plano focal de una lente convergente ancha, etc) para descomponer cada una de las componentes de la función u en funciones de onda de las anteriores. Dado que se trata de una distribución bidimensional, sólo se necesita conocer la distribución de u en una superficie más el sentido de propagación para establecer la descomposición. Suele tomarse un plano z = z0 como superficie de referencia y obtener la transformada de Fourier de la función y(x,y,z0), lo que añadido al sentido de propagación (w = kz > 0 o w = kz < 0) determina la función en todo el espacio.

Una onda plana U puede escribirse como

U(x,y,z,t) = Re(A exp (iwt-imx-ivy-iwz))
Si se tiene un campo electromagnético, una onda plana verifica
E = Re(e exp (iwt-imx-ivy-iwz))     H = Re(h exp (iwt-imx-ivy-iwz))
entonces las ecuaciones de Maxwell 1 en el vacío y sin fuentes se escriben
Ñ·E = 0 Þ e ·k = 0
Ñ×E = - B
t
Þ e×k = mwh
Ñ·B = 0 Þ h ·k = 0
Ñ×B = me E
t
Þ h×k = -ewe
ü
ï
ï
ï
ï
ï
ý
ï
ï
ï
ï
ï
þ
(12)
que indica el carácter transversal de las ondas electromagnéticas.

Ecuaciones de Fresnel

Cuando una onda plana o atraviesa una frontera plana de separación entre medios de distintas características, experimenta, en general una reflexión o¢¢ y una refracción o¢. En ausencia de fuentes, pueden escribirse las ecuaciones de Maxwell, utilizando los campos D, E, H, B, de la forma

Ñ·D
=
0
Ñ×E
=
- B
t
Ñ·B
=
0
Ñ×H
=
D
t
ü
ï
ï
ï
ï
ï
ý
ï
ï
ï
ï
ï
þ
(13)
lo que permite establecer las condiciones de contorno en la frontera z = 0 entre dos medios
Dz+Dz¢¢ = Dz¢    Ù    Bz+Bz¢¢ = Bz¢
Ex+Ex¢¢ = Ex¢    Ù    Ey+Ey¢¢ = Ey¢    Ù    Hx+Hx¢¢ = Hx¢    Ù    Hy+Hy¢¢ = Hy¢
que junto con las relaciones
D = eE     Ù    D¢ = e¢E¢    Ù    D¢¢ = eE¢¢
B = mH     Ù    B¢ = m¢H¢    Ù    B¢¢ = mH¢¢
determinan los campos reflejado y refractado en función del campo incidente

Cuando una onda plana (w>0) se encuentra con un cambio plano de medio (z=0) , entonces puede considerarse que se impone una distribución de las funciones que las componen en el plano frontera que determina V(m,v,0). Entonces, si R,T son los coeficientes de reflexión y refracción, la onda reflejada tendrá componentes de Fourier

V¢¢(m,v,w) = R V(m,v,-w)
y la transmitida
V¢(m,v,w) = T V(m,v,( k2+w2-k¢2)1/2)
lo que equivale a las conocidas leyes geométricas sobre la reflexión y transmisión (Snell) de ondas planas.
qi = qr     ni sen
qi = nt sen
qt

El cómputo de R,T se suele realizar, atendiendo la linealidad de las ecuaciones anteriores, descomponiendo la onda incidente en una con el campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia (el que forma la dirección de propagación y la normal al plano frontera) y otra con el campo eléctrico paralelo a dicho plano.

Se puede suponer que la dirección de propagación del rayo es la del vector senqi + cosqk con lo que en el primer caso se tiene

T = 2n cosq
ncosq+ n¢cosq¢
    Ù    R = ncosq-n¢cosq¢
ncosq+ n¢cosq¢
y en el segundo caso
T = 2n cosq
n¢cosq+ n cosq¢
    Ù    R = n¢cosq-ncosq¢
n¢cosq+ n cosq¢
Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones de Fresnel.


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On 29 Apr 2001, 14:01.