Difracción de Fresnel de una apertura circular

Para el cálculo del campo en un punto del eje, debido a una fuente que también se encuentra en el eje, se aprovecha la simetría del problema y se utilizan coordenadas polares en la apertura.
u = kB
r0r1
ó
õ
2p

0 
dj ó
õ
a

0 
Q(r) exp  æ
ç
è
-ik r2
2r
ö
÷
ø
rdr
donde se ha incluido el factor de inclinación Q. si se realiza el cambio
s = k r2
2r
entonces se tiene la integral
u = C ó
õ
s

0 
Qexp (-is)ds
La integral
J(s) = ó
õ
s

0 
Q(s) exp (-is)ds
Sin la inclusión del factor de inclinación, esta integral se haría periódica. El factor
Q, que decrece lentamente con s hace tender la integral a un límite concreto (-i). Fresnel ideó un ingenioso método para la discusión de la integral anterior. Tomando origen de fases en la contribución del centro de la apertura circular, se divide el círculo en zonas separadas por cincunferencias cuyas distancias al punto del eje en que se calcula el campo sean jl/2. Resulta que la contribución de cada zona (zj es la zona entre sj,sj+1) sería la misma, aunque la introducción de ) sería la misma, aunque la introducción de Q hace que dsiminuyan ligeramente con n. Las zonas pares contribuyen con una fase media nula y las zonas impares contribuyen con una fase media igual a p. Si el valor absoluto de la contribución de la zona zj es Jj entonces
J = J0 -J1 + J2 +¼+ Jn
Asumiendo un decrecimiento lineal del factor de inclinación con j, se tiene
J » J0/2 +(J0/2 -J1 + J2/2) + (J2/2 - J3 +J4/2) +¼
en donde los paréntesis representan términos prácticamente nulos, lo que hace que
J » J0/2 + (-1)n Jn/2
si se tiene un número entero de zonas en la apertura.

Si se bloquean, mediante una pantalla opaca, las zonas impares, entonces

J = J0+J2 +¼
y la amplitud de la onda en el el punto del eje crece fuertemente. Las placas que materializan este efecto se denominan placas zonales de Fresnel y se utilizan para obtener una fuerte focalización de la onda.

Obviamente si en vez de una apertura circular se tiene un obstáculo circular, se puede calcular la amplitud resultante restando la amplitud obtenida con propagación libre de la obtenida con una apertura circular (principio de Babinet). Esto origina que con una elección apropiada del tamaño del obstáculo se tenga en el centro del eje una amplitud mayor que en propagación libre. Este punto brillante en el eje, predicho por Poisson a la luz de la teoría de Fresnel (para refutarla), recibe el nombre de mota de Poisson.