Transformada bidimensional de Fourier

Dada una función f(x,y) definida en un plano x,y, la transformada bidimensional de Fourier es la función compleja F(u,v) determinada por la fórmula

F(u,v) = ó
õ
¥

 
ó
õ
¥

 
exp (-iux - ivy)f(x,y)dxdy
La transformación inversa
f(x,y) = 1
4p2
ó
õ
¥

 
ó
õ
¥

 
exp (iux ivy)F(u,v)dudv
reproduce la original (con un error cuadrático integral nulo).

Muchos sistemas ópticos (difracción de Fraunhoffer, plano focal de una lente convergente, etc)se diseñan para reproducir la transformada bidimensional de Fourier en algún plano, por lo que es interesante el estudio de alguna de sus propiedades.

Si se realiza un ensanche de una función f(x,y), tal que se define la nueva función g(x,y) = f(lx,ly) (ensanche para l < 1, estrechamiento para l > 1), su transformada de Fourier es

G(u,v) = ó
õ
¥

 
ó
õ
¥

 
exp (-iux - ivy)f(lx,ly)dxdy
a la que realizando el cambio
x¢ = lx,y¢ = ly, u¢ = u/l, v¢ = v/l
queda
G(lu¢, lv¢) = l-2 ó
õ
¥

 
ó
õ
¥

 
exp (-iu¢x¢- iv¢y¢)f(x¢, y¢)dx¢dy¢
lo que determina
G(lu¢, lv¢) = l-2 F(u¢,v¢) Þ G(u,v) = l-2 F(u/l,v/l)
es decir, un ensanchamiento de una función determina un estrechamiento similar de su transformada de Fourier. Consiguientemente, funciones estrechas definen transformadas anchas y funciones anchas definen transformadas estrechas. A continuación se presentan algunos ejemplos de cierta importancia práctica
  1. Función gaussiana
  2. Función rectangular
  3. Función circular
  4. Estructura periódica
  5. Descomposición en ondas planas
  6. Filtrado espacial