Difracción de Fraunhoffer

En las siguientes líneas se desarrolla la fórmula (1) para el caso de una onda plana incidente sobre una superficie S situada en un plano z = 0 en el que existe una función de transmisión t(x,y), nula en las zonas opacas e igual a la unidad en las zonas transparentes. Se supondrá que el volumen de integración al que se aplica la fórmula es el semiplano situado tras el plano.

 

Si la onda incidente en el punto A es

uinc = u0 t(x,y) exp (-ikinc·rA)
su gradiente será
ÑA uinc = - i t(x,y) uinc kinc
La función G(P,A) es
G(P,A) = exp (-i k r)
4p
r
con
r = |AP|. Para puntos P alejados del plano z = 0, según un vector unitario usc, puede aproximarse
r » r0 + usc ·rP
y además, 1/
r es despreciable frente a k, por lo que llamando
ksc = kusc
se puede hacer, prescindiendo de un factor de fase constante,
G(P,A) » exp (iksc·rA)
4p
r
(2)
ÑA G(P,A) = i G(P,A) ksc
con lo que la fórmula de difracción de Kirchhoff queda
u(P) = i ó
õ


S 
(- kinc - ksc) t(x,y) uinc(A) G(P,A)·ds
si se definen
k cosainc = -n·kinc    k cosasc = -n·ksc
entonces se tiene
u(P) = i k (cosainc +cosasc)
4p
r0
ó
õ


S 
exp (iv·rA) t(x,y) dx dy
donde
v = ksc-kinc
con lo que, llamando
A = i k (cosainc +cosasc)
4p
r0
se tiene
u(P) = A ó
õ
exp (i vx x + vy y) t(x,y) dx dy
Prescindiendo del factor constante, se tiene una u(P) proporcional a la transformada de Fourier de la función de transmisión del plano
xy. Nótese que este resultado sólo es válido para puntos situados tan lejos de la apertura que hagan muy pequeño el ángulo bajo el que ésta se contempla desde P. Este modelo de difracción recibe el nombre de difracción de Fraunhoffer

Al sustituir la simetría esférica de la función G por una linealización de la fase, la ponderación es equivalente a una onda plana, como se representa en el applet.