Difracción de Fresnel de una apertura rectangular

Si se aplica el modelo de Fresnel al caso de una apertura rectangular se tiene

u(x1,y1) = kB
r0r1
ó
õ
a1

a0 
ó
õ
b1

b0 
exp  æ
ç
è
-ik (x0-x)2+(y0-y)2
2
r0
+ (x-x1)2+(y-y1)2
2
r1
ö
÷
ø
dx dy
si se denomina
1
r
= 1
r1
+ 1
r0
    x = (x-x0-x1)   ____
Ök/2r
 
    h = (y-y0-y1)   ____
Ök/2r
 
el exponente q se puede reescribir, excepto un sumando constante
q = -i (x2+h2)
La integral queda
u(x1,y1) = 2 B
r0+r1
ó
õ
x1

x0 
ó
õ
h1

h0 
exp (-i(x2+h2)) dxdh
que se reduce a dos integrales simples
u(x1,y1) = 2 B
r0+r1
ó
õ
x1

x0 
exp (-ix2) dx ó
õ
h1

h0 
exp (-ih2) dh
con límites de integración
x0 = (a0-x0-x1)   ____
Ök/2r
 
   x1 = (a1-x0-x1)   ____
Ök/2r
 
h0 = (b0-y0-y1)   ____
Ök/2r
 
    h1 = (b1-y0-y1)   ____
Ök/2r
 
Las integrales C(s),S(s) definidas mediante
C(s) - iS(s) = ó
õ
s

0 
exp (-ipx2/2)dx =
= ó
õ
s

0 
cospx2/2dx- i ó
õ
s

0 
sen px2/2dx
reciben el nombre de integrales de Fresnel y están tabuladas. Es má sinteresante su representación gráfica en el plano complejo como una curva parametrizada según el parámetro
s. La forma corresponde a dos ramas simétricas (para s > 0 y para s < 0) que reciben el nombre de espiral de Cornu. En el siguiente applet puede fijar s con la barra vertical y obtener el valor de las integrales y la posición en la espiral

Las ramas se enrollan alrededor de dos puntos simétricos que corresponden al valor de la integral cuando su argumento se hace ±¥. Este valor es fácil de calcular

C(¥)+ i S(¥) = 1/2 ó
õ
¥

 
exp (-ipx2/2)dx = 1
2
- i
2
Sobre la espiral de Cornu se toma la diferencia entre los límites superior e inferior de integración, obteniéndose el complejo proporcional al campo final. Lejos de la zona central, los dos valores estarán cerca de un límite de la espiral, por lo que el campo será muy pequeño. La espiral de Cornu puede utilizarse también cuando se presenta un obstáculo semiplanar.