Difracción de Fresnel

La aproximación lineal realizada en (2) puede perfeccionarse siendo sustituida por una aproximación parabólica, determinando distribuciones de fase representadas en el applet

el factor de fase es

k r = k   _________________________
Ö(xA-xP)2 + (yA-yP)2 + (zA-zP)2
 
k r = k |zA-zP| (
1+ (xA-xP)2 + (yA-yP)2
(
zA-zP)2
)1/2
aproximando |
zA-zP| por r0 queda
k r » k æ
ç
è
r0+ (xA-xP)2 + (yA-yP)2
2
r0
ö
÷
ø
(3)
de forma que en la integral de Kirchoff resulta, tras prescindir de un factor de fase constante
u(P) = A ó
õ
exp  æ
ç
è
-ik (xA-xP)2 + (yA-yP)2
2
r0
ö
÷
ø
t(x,y) dx dy
con la constante
A definida en la sección anterior.

La integral

ó
õ
exp  æ
ç
è
-ik (xA-xP)2 + (yA-yP)2
2
r0
ö
÷
ø
t(x,y) dx dy
recibe el nombre de transformada de Fresnel de t(
x,y) y su cálculo analítico puede hacerse en pocos casos.

Difracción en una lente convergente

La integral de Fresnel puede utilizarse para obtener el campo propagado a través de un sistema óptico. Concretamente, considérese la lente delgada referida anteriormente para la que se obtendrá el campo en un plano x1,y1 por la acción de una onda originaria de un punto en el plano x0,y0. En un punto x,y del plano de la lente, se tiene un campo incidente que teniendo en cuenta 3 puede escribirse, prescindiendo de un factor de fase constante

u(x,y) = u0
r0
exp  æ
ç
è
-ik (x-x0)2 + (y-y0)2
2
r0
ö
÷
ø
Si se aplica la integral de Fresnel-Kirchhoff para la determinación delcampo en el punto x1,y1 del último plano, se tiene
u(x1,y1) = u0
r0
A ó
õ
ó
õ
exp  æ
ç
è
-ik æ
ç
è
(x-x0)2 + (y-y0)2
2
r0
+ (x-x1)2 + (y-y1)2
2
r1
- x2+y2
2
f
ö
÷
ø
ö
÷
ø
|t(x,y)| dx dy
que, excepto una fase, se escribe
k B
r0r1
ó
õ
ó
õ
exp  æ
ç
è
-ik æ
ç
è
1
2r0
+ 1
2r1
- 1
2f
ö
÷
ø
(x2+y2) - ik xx0
r0
-ik xx1
r1
ik yy0
r0
-ik yy1
r1
ö
÷
ø
|t(x,y)| dx dy
si se elige
1
r0
+ 1
r1
= 1
f
entonces llamando
vx = -k æ
ç
è
x0
r0
- x1
r1
ö
÷
ø
    vy = -k æ
ç
è
y0
r0
- y1
r1
ö
÷
ø
queda
u(x1,y1) = k B
r0r1
ó
õ
ó
õ
exp (i(vx x + vy y))|t(x,y)| dxdy
que representa la transformada de Fourier de la apertura |t(
x,y)| del plano en el que se sitúa la lente. Si la anchura de la apertura es grande en comparación con la longitud de onda, entonces la transformada de Fourier sólo presenta un valor apreciable en las cercanías de las frecuencias nulas y, por lo tanto, sólo existe radiación en la posición x1,y1 tal que
x1 = r1 x0
r0
   y1 = r1 y0
r0
lo que corresponde a los resultados previsibles por la Óptica geométrica. En general puede decirse que la reducción de la anchura de |t(
x,y)| amplía la de su transformada de Fourier, lo que hace que la radiación del punto x0,y0 se reparta por una zona tanto mayor. Cuanto mayor sea la lente, mayor capacidad de separación poseerá.