1  Holografía

La fotografía ordinaria es capaz de reproducir una imagen bidimensional, obtenida enfocando la luz reflejada por un objeto sobre una placa fotográfica que registra la intensidad de luz que recibe. De esta forma, el mapa bidimensional, una vez revelado, reconstruye la imagen correspondiente al plano enfocado.

En 1948, el físico de origen húngaro Dennis Gabor puso en práctica una técnica capaz de registrar las características tridimensionales del frente de onda, de forma que pudiera ser reconstruido posteriormente. Esta técnica se llama holografía y se procede a describir en los siguientes párrafos.

La holografía puede dividirse en dos fases. La primera de ellas tiene por objeto la obtención de un registro del frente de onda, llamado holograma, y la segunda en la reproducción del frente de onda original en ausencia de los objetos que lo originaron.

La obtención del holograma se realiza siguiendo el diagrama de la figura:

Se ilumina un objeto con una fuente de luz y se hace interferir el haz reflejado con otro colimado y coherente. El frente resultante se hace incidir sobre una placa fotográfica, obteniéndose, tras el revelado, una distribución del coeficiente de transmisión que es función de la intensidad del campo registrado, según la fórmula:
T(x,y) = T0 I-g
donde T0,g son constantes que dependen de la película fotográfica, el proceso de revelado y el tiempo de exposición.

Obtengamos la intensidad que llega a la placa en función de la intensidad del frente reflejado por el objeto Iobj(x,y), de la del haz de referencia Ir(x,y) y de sus fases jobj,jr
I = Iobj + Ir + 2 ( IobjIr )1/2cos(jobj-jr)
generalmente se elige Ir unas cinco veces más intenso que Iobj, lo que permite hacer
I = Ir ì
í
î
1+2 æ
ç
è
Iobj
Ir
ö
÷
ø
1/2

 
cos(jobj-jr) ü
ý
þ

I = Ir ì
í
î
1+2 æ
ç
è
Aobj
Ar
ö
÷
ø
cos(jobj-jr) ü
ý
þ
con lo que el holograma tiene un coeficiente de transmisión
T = T0 Ir-g ì
í
î
1-2 g æ
ç
è
Aobj
Ar
ö
÷
ø
cos(jobj-jr) ü
ý
þ
Una vez obtenido el holograma se coloca bajo el mismo haz de referencia, con lo que se obtiene un campo transmitido
E = T0 Ir-g ì
í
î
1- g æ
ç
è
Aobj
Ar
[ei(jobj-jr) + e-i(jobj-jr)] ö
÷
ø
ü
ý
þ
Er eijr
que origna
E = E1+E2+E3
donde
E1 = T0 Ir-gEr

E2 = -gT0 Ir-gEobj ei((2jr-jobj)

E3 = - gT0 Ir-gEobj
el campo E1 es proporcional al de referencia. El campo E3 es el del objeto que se pretende reconstruir. El campo E2 es otra vez el del objeto girado un ángulo igual al del haz de referencia y expandido angularmente; su geometría se estudiará más adelante.

En muchas ocasiones el haz utilizado en la reproducción del holograma no es el mismo que el empleado en su grabación. En este caso se tiene
E = T0 Ir-g ì
í
î
1- g æ
ç
è
Aobj
Ar
[ei(jobj-jr) + e-i(jobj-jr)] ö
÷
ø
ü
ý
þ
Ep eijp
que origina los tres campos
E1 = T0 Ir-gEp

E2 = -gT0 Ir-gEp ei(jr+jp-jobj)

E3 = - gT0 Ir-gEp e-i(jr-jp-jobj)

2  Fuentes puntuales

En esta sección se va a tratar el caso en que los haces utilizados en la generación y en la reproducción del holograma son generados a partir de puntos determinados y el objeto se reduce a un punto único. El caso de un objeto extenso se abordará como una colección de puntos y los haces planos peden considerarse un caso particular (o límite) del caso de haces esféricos.

Como punto de partida se toma la configuración de la figura 1. En ella se representa el plano donde está situada la película del holograma que se pretende grabar que se hace coincidir con el plano xy. El eje z se toma perpendicular y en el sentido que hace que el objeto O y las fuentes del haz de referencia F y del haz reproductor P se encuentren en el semiespacio z ³ 0. Las coordenadas del objeto son xo,yo,zo, las de la fuente del haz de referencia xr,yr,zr Si se representa el campo eléctrico utilizando el modelo escalar mediante números complejos, se tiene que sobre el plano xy
Eo = Ao e-ijo

Er = Ar e-ijr

Ep = Ap e-ijp
donde
jo = 2p
l
( do )1/2

jr = 2p
l
( dr )1/2

jp = 2p
l¢
( dp )1/2
Si se considera que la distancia al plano xy para los objetos es mucho mayor que las coordenadas x,y, se tiene, para jo,
jo = 2p
l
zo æ
ç
è
- xo x + yo y
zo2
+ x2+y2
2 zo2
ö
÷
ø

jr = 2p
l
zr æ
ç
è
- xr x + yr y
zr2
+ x2+y2
2 zr2
ö
÷
ø

jp = 2p
l¢
zp æ
ç
è
- xp x + yp y
zp2
+ x2+y2
2 zp2
ö
÷
ø
donde se han excluido los sumandos contantes.

Se analizan a continuación los campos E2,E3. Para el campo E2, se tiene una fase
j2 = -jo + jp+jr
y se intenta hacerla corresponder con la fase de una imagen puntual I2 de coordenadas x2,y2,z2
j2 = 2p
l¢
æ
ç
è
- x2 x + y2 y
z2
+ x2+y2
2 z2
ö
÷
ø
es decir
a2 x + b2 y- x2+y2
2 z2
= æ
ç
è
ap+(ar-ao) l¢
l
ö
÷
ø
x + æ
ç
è
bp+(br-bp) l¢
l
ö
÷
ø
y- x2+y2
2 z2
lo que implica
1
z2
= 1
zp
+ æ
ç
è
1
zr
- 1
zo
ö
÷
ø
l¢
l

a2 = ap+(ar-ao) l¢
l
, b2 = bp+(br-bo) l¢
l
lo que corresponde a una magnificación paralela al plano xy
m2xy = - l¢z2
lzo
y normal
m2z = - l¢z22
lzo2
Aplicando las mismas reglas para el campo E3 se tiene
1
z3
= 1
zp
- æ
ç
è
1
zr
- 1
zo
ö
÷
ø
l¢
l

a3 = ap-(ar-ao) l¢
l
, b3 = bp-(br-bo) l¢
l

m3xy = l¢z3
lzo
y normal
m3z = l¢z32
lzo2