Speckles

Introducción

Cuando se ilumina una superficie rugosa mediante un haz láser, se observa una imagen con puntitos brillantes. Si se examina con más atención, puede apreciarse una patrón moteado o speckle superpuesto sobre la imagen. Este tipo de patrón aparece aunque no se enfoque sobre la superficie. Este efecto dificulta enormemente la posibilidad de fotografiar objetos rugosos con luz coherente; sin embargo, constituye una apreciada fuente de información de las características mecánicas de la superficie observada.

Existen métodos basados en los speckles que permiten medir deformaciones, desplazamientos, rotaciones, amplitud de vibraciones, etc. Estos métodos suelen ser menos exigentes que los propios de la interferometría holográfica , debido a que algunos factores que limitan ésta, potencian aquéllos.

Speckle objetivo

La figura muestra una superficie rugosa iluminada por un haz láser expandido y una pantalla sobre la que se recoje la luz difundida por dicha superficie. La pantalla recoje, de nuevo, un patrón granulado o speckle.

El speckle es el resultado de la interferencia de las ondas difundidas por todos los puntos iluminados por el haz láser, por lo que sólo se observa si el objeto es iluminado con radiación coherente tanto espacial como temporalmente.

En la figura se aprecia la formación de la amplitud compleja en un punto cualquiera de la pantalla como la suma de las contribuciones de todos los puntos iluminados.

Si se considera la amplitud en un punto cercano, debe volverse a sumar el conjunto de amplitudes complejas, que estarán algo cambiadas. Si este cambio es pequeño, la amplitud resultante será equivalente a la del punto anterior. Para que el resultado de la suma cambie, entonces la diferencia entre las fases de los puntos extremos de la zona iluminada debe ser significativamente distinta para los dos puntos considerados. La fase es
jAP = k ( (xA-xP)2 + (yA-yP)2 + z2 )1/2 » k æ
è
z -  (xA-xP)2 + (yA-yP)2

2z
ö
ø

jBP = k ( (xB-xP)2 + (yB-yP)2 + z2 )1/2 » k æ
è
z -  (xB-xP)2 + (yB-yP)2

2z
ö
ø
con lo que
DfP » kL æ
è
 xP+yP

z
ö
ø
y para otro punto Q
DfQ » kL æ
è
 xQ+yQ

z
ö
ø
por lo que
DfP - DfQ » kL æ
è
 Dx + Dy

z
ö
ø
con lo que
DfP - DfQ » 2pÞ Dx = Dy =  lz

L
es decir, el tamaño del grano del speckle es inversamente proporcional a la anchura de la zona iluminada y directamente proporcional a la longitud de onda y la distancia de la pantalla.

En términos de las transformadas de Fourier, puede aproximarse el campo en la pantalla por la transformada de Fourier de una función de la distribución de cotas en la superficie. Dado que sólo una parte de la superficie está iluminada (de anchura L), puede considerarse que la transformada de Fourier buscada y proyectadaen la pantalla es la convolución de una función de anchura
zl/L
con el tren de impulsos centrados en
n z l/L
Obviamente, el tamaño del speckle es
zl/L

Speckle subjetivo

Cuando se enfoca una cámara o el propio ojo humano en una superficie rugosa sobre la que incide un haz láser, se observa igualmente la aparición de un patrón de speckle. En este caso, puede considerarse que el speckle observado corresponde a la difracción del campo situado en la apertura del sistema, con lo que el tamaño medio del speckle es
zl/D
donde z es la distancia desde la apertura al plano de la imagen y D es la apertura.

Si se observa el speckle en el plano focal de una lente convergente, entonces el tamaño medio será
fl/D = A l

Desplazamiento del speckle y su medida

Cuando se efectúan algunas transformaciones en la superficie (p.e. translación paralela, giro normal) el speckle (subjetivo u objetivo) se desplaza.

En el plano imagen el speckle se desplaza
d  z¢

z

En el plano focal, al girar,
-(1+cosq) gf

Se toman dos speckles y se procede a iluminarlos. El desplazamiento se traduce en la aparición de franjas de interferencia cuya separación es inversamente proporcional al desplazamiento.

En efecto,
u(kx, ky)= å
e(x,y) ei kx x + i k y y + ei kx d å
e(x,y) ei kx x + i k y y =

=E(kx,ky) (1+cos kx d + i senkx d)
con lo que
I(kx,ky) = EE* (1 + cos2 kx d + 2 coskx d + sen2 kx d) = 2 EE* (1 + coskx d)

I(xf,yf) = 2 EE* (1 + cosk  xf

f
d)


I(a,b) = 2 EE* (1+ cosksenad)

I(xf,yf) » 2 EE* (1 + cosk  xf

f
d)

Proyección del desplazamiento sobre el objeto

Si en el plano focal de una lente se coloca una pantalla que sólo deje pasar la radiación en xf=±h, entonces aquellas zonas en las que el desplazamiento verifique
k  h

f
d = (2n+1) pÞ d = (n+1/2)  lf

h
no aportarán ninguna radiación y al enfocar el objeto mediante una segunda lente, sus áreas quedarán oscurecidas por completo.

Medida de la amplitud de vibración

Sea una superficie en la que existe una vibración lateral que en cada punto vengadada por
a(t) = a0 senwt
Si se toma una imagen de la superficie durante varios ciclos de la vibración, se obtiene para cada punto una intensidad próxima a la intensidad media que es
I(x,y) = ó
õ
T

0 
I0(x-a0 senwt) d t
Su difracción será, pues
I(xf,yf) = I02 ó
õ
T

0 
eikxf [(a0)/f] senwt d t=I02 J0(k xf  a0

f
)

Si se quieren observar franjas de igual amplitud A sobre el objeto, se puede abrir una apertura en el plano de Fourier en los puntos en que
J0(k xf  A

f
) = 0
para después enfocar sobre el objeto

Interferometría de speckle

 En algunas ocasiones lo que se registra en el plano imagen es el resultado de la interferencia de la amplitud del speckle con otro speckle o con un haz de referencia. Por ejemplo, en la figura se observa una configuración en la que
u=u0(x,y) + u1(x,y)

I(x,y) = u02(x,y) + u12(x,y) + 2 u1u2(x,y) cosY(x,y)

I¢(x,y) = u02(x,y) + u12(x,y) + 2 u1u2(x,y) cos( Y(x,y)+q(x,y))
La diferencia es
2 u1u2(x,y) cos( Y(x,y)+q(x,y))-2 u1u2(x,y) cosY(x)
que es nula cuando
k d = 2pn Þ d = nl
Se pueden observar por sustracción directa mediante una cámara electrónica o por la introducción de un deliberado desplazamiento junto con una rendija en el plano de Fourier para visualizar las zonas de correlación máxima.

Interferometría de speckle cizallada

En la imagen de la figura se puede observar una configuración en la que se realiza una imagen de la interferencia entre la radiación difundida por dos puntos diferentes de la superficie.


u=u0(x,y) + u1(x,y)

I(x,y) = u02(x,y) + u12(x,y) + 2 u1u2(x,y) cosY(x,y)

I¢(x,y) = u02(x,y) + u12(x,y) + 2 u1u2(x,y) cos( Y(x,y)+q(x,y))
La diferencia es
2 u1u2(x,y) cos( Y(x,y)+q(x,y))-2 u1u2(x,y) cosY(x)
que es nula cuando
k (d2-d1) = 2pn Þ d2-d1 = \derpdx2Dx2 = nl

Rugosidad

Se puede determinar la rugosidad de una superficie utilizando dos longitudes de onda diferentes. Si se ilumina una superficie con un haz normal de longitud l1 se tiene
u1(x,y) =
å
x,h Î C(x,y) 
u1 e2ik1 h(x,h)

u2(x,y) =
å
x¢,h¢ Î C(x,y) 
u1 e2ik2 h(x¢,h¢)

u1(x,y) u2(x,y) =
å
x,h Î C(x,y) 

å
x,h Î C(x,y) 
u12 e2ik1 h(x,h)e-2ik2 h(x¢,h¢)
que en valor medio resulta
< u1(x,y) u2(x,y) > =
å
x,h Î C(x,y) 
< u12 e2ik1 h(x,h)e-2ik2 h(x,h) >

< u1(x,y) u2(x,y) > = u12
å
x,h Î C(x,y) 
< e2i Dk h(x,h) >

< u1(x,y) u2(x,y) > = u12
å
x,h Î C(x,y) 
< e2i Dk h(x,h) >

< u1(x,y) u2(x,y) > = u12 n e-2 (Dk)2 s2

r = e-2 (Dk)2 s2
como para distribuciones normales
rI = ru2
entonces
r = e-4 (Dk)2 s2