Interferometría holográfica

1  Introducción

Un holograma de un objeto reproduce el frente de onda que dispersa cuando es iluminado por un haz coherente. Si se disponen los hologramas de un objeto correspondientes a los estados de éste antes y después de una transformación, y se observa la interferencia resultante, se pueden visualzar franjas de interferencia que den información sobre dicha transformación. Esta técnica de inspección de superficies se denomina interferometría holográfica.

2  Amplitud resultante

Cuando se ilumina la superficie con un haz y se observa desde un plano V, se tiene una amplitud
u1(P) = u0
å
A Î C(P,e) 
ei(ki - ksPA
tras la transformación, se tiene
u2(P) = u0
å
A Î C(P,e) 
ei(ki - ks)·(PA+d)
con lo que la amplitud resultante es

å
A Î C(P,e) 
( ei(ki - ksPA+ei(ki - ks)·(PA+d))
La intensidad resultante es
u u¢=u02
å
A Î C(P,e) 
(2 + 2 coskC ·d) + ¼
donde los términos no recogidos se anulan en promedio.

Los puntos en los que
kC ·d = (2n +1) p
se observarán franjas oscuras y cuando
kC ·d = 2n p
se tienen franjas muy intensas.

3  Franjas

Cuando se observa desde un punto de vista V, las franjas aparecen espaciadas de modo que si
N =  1

l
C ·d
, en x2,
 N

x2
Dx2 = 1
es decir
æ
è
 C

x2
·d + C ·  d

x2
ö
ø
dx2 = 1
Dado que
N =  1

l
C ·d
se tienen tres ecuaciones; tres puntos de vista serán suficientes para obtener las nueve componentes.

4  Enfoque de las franjas

Los puntos en los que
coskC ·d = (2n +1) p
se observarán franjas oscuras si coskC ·d se mantiene más o menos constante en todo el área de resolución, es decir, si N=k C · verifica que
 N

x2
Dx2,  N

x3
Dx3
son pequeñas, lo que no se cumplirá, en general, para cualquier V, por lo que las franjas sólo se observarán en determinadas posiciones. 

En el sistema de la figura se representa de forma aproximada la geometría cuando se contemplan las franjas desde un punto V1 en el eje x1 y un punto V2 en el plano x1x2.

Cálculo de los coeficientes desde V2

n0 = -e1    ns =  X1e1 + (X2-x2)e2 - x3e3

( X12 + (X2-x2)2+x32 )1/2

C =  X1e1 + (X2-x2)e2 - x3e3

( X12 + (X2-x2)2+x32 )1/2
+ e1

R=( X12 + (X2-x2)2+x32 )1/2     1/R

x2
=  X2-x2

R3
     1/R

x3
=-  x3

R3

C =  (X1+R) e1 + (X2-x2)e2 - x3e3

R

derivadas

C,2 =  X1(X2-x2)

R3
e1 + (  (X2-x2)2

R3
-1/R )e2 -(  (X2-x2)x3

R3
e3

C,3 = -  X1x2

R3
e1 -  (X2-x2)x3

R3
e2 +(  x32

R3
-1/R)e3

senq » X2/R    cosq » X1/R

C » (1+cosq) e1 + senqe2

C,2 »  senqcosq

R
e1 -  cos2q

R
e2     C,3 » -  1

R
e3

5  Oscilaciones

Sea una oscilación de pulsación w y amplitud a0, que determina una amplitud de interferencia en la superficie de grabación 
u=urexpijr+uoexp(ijo+2ika0senwt)
y una intensidad
I=uru¢r + uou¢o +2 uo ur cos(jo-jr +2ka0senwt)

I=uru¢r + uou¢o +2 uo ur cos(jo-jr)cos(2ka0senwt) -2 uo ur sen(jo-jr)sen(2ka0senwt)
cuyo promedio temporal es
< I > =uru¢r + uou¢o +2 uo ur cos(jo-jr)J0(2ka0)

con lo que la imagen virtual reconstruida
u¢rec = 2k uo ur2 J0(2ka0)
aparece modulada por la función  J0(2ka0), lo que proporciona franjas oscuras para los ceros de J0(2ka0).