Ondas viajeras 3D

En el applet superior puede contemplar la propagación de perturbaciones desde el centro, de amplitud inversamente proporcional a la distancia recorrida. La ecuación de ondas homogénea no se verifica en O, por lo que allí existe una fuente. 

Ecuación de ondas tridimensional

Las ondas son fenómenos físicos que definen campos variables en el tiempo que se propagan en el espacio con velocidad finita. La ecuación de ondas es
2 U
x2
+ 2 U
y2
+ 2 U
z2
- 1
c2
2 U
x2
= 0
Si se desea encontrar una solución con simetría esférica en torno a un punto O que se elige como origen, entonces, la expresión en coordenadas esféricas de la anterior ecuación es
r-2
r
æ
ç
è
r2
r
U ö
÷
ø
- 1
c2
2 U
t2
= 0
2 r-1 Ur + Urr - 1
c2
2 U
t2
= 0

Sea V(r,t)=rU(r,t). Entonces

Vr = U + rUr ÙVrr = 2Ur + rUrr
con lo que
2 V
r2
- 1
c2
2 V
t2
= 0
donde se puede realizar el cambio
v = r+ct    w = r-ct
con lo que se tiene
2V
vw
= 0
con la solución
U = (U1(v)+U2(w))/r) = (U1(x+ct)+U2(x-ct))/r
que representa la superposición de ondas viajeras desde y hacia O, cuya amplitud decrece de forma inversamente proporcional a la distancia desde O.

 

 

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